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Archivi categoria: algebra
Le rappresentazioni monodimensionali di un gruppo e le rappresentazioni della sua abelianizzazione
Dato un gruppo finito $G$, abbiamo sempre una rappresentazione irriducibile monodimensionale, cioè la rappresentazione banale. Tuttavia possiamo averne altre. Viene fuori che le rappresentazioni monodimensionali di $G$ sono in corrispondenza con le rappresentazioni della sua abelianizzazione. Abbiamo visto l’abelianizzazione in … Continua a leggere
Pubblicato in teoria dei gruppi
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Percentuale commutativa e numero di classi di coniugazione in un gruppo finito
Abbiamo visto in un precedente articolo il teorema dei cinque ottavi in teoria dei gruppi. Ricapitoliamo la storia. Partiamo da un gruppo finito $G$ e definiamo $$s(g,h) = \begin{cases} 1 & gh = hg \\ 0 & \mathrm{altrimenti} \end{cases}$$ ovvero … Continua a leggere
Pubblicato in teoria dei gruppi
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Il teorema di Perron-Frobenius
Il teorema di Perron-Frobenius è un risultato parecchio utile riguardo a certe classi di matrici. In particolare, afferma che per una matrice i cui elementi sono tutti positivi, allora l’autovalore più grande è non-degenere e il corrispondente autovettore può essere … Continua a leggere
Pubblicato in altra algebra
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Esempio concreto di rappresentazioni proiettive del gruppo U(1)
Il gruppo $\U(1)$ è il gruppo di Lie abeliano monodimensionale composto dai numeri complessi $z \in \C$ tale che $\abs{z}=1$. Come varietà, è il cerchio $S^1$. In termini di coordinate, può essere parametrizzato da una variable $\theta \in (0, 2\pi)$ … Continua a leggere
Pubblicato in gruppi e algebre di Lie
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La reciprocità di Frobenius per la rappresentazione indotta e quella ristretta
In un precedente articolo, abbiamo visto la definizione di rappresentazione ristretta e di rappresentazione indotta. Il motivo della definizione abbastanza strana della rappresentazione indotta è che forma un’aggiunzione con la rappresentazione ristretta, ovvero abbiamo Teorema (Reciprocità di Frobenius). $\mathrm{Hom}(\mathrm{Ind} V, … Continua a leggere
Pubblicato in teoria dei gruppi
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