Archivi categoria: analisi

Il teorema di Cayley-Hamilton e le serie infinite di matrici

Supponiamo di avere una matrice $A$ (quadrata) e di voler calcolare una serie infinita della forma $$f(A) = \sum_{n=0}^\infty f_n A^n$$ dove $c_n$ sono dei coefficienti reali arbitrari. Ad esempio delle serie del genere vengono fuori in alcuni casi quando … Continua a leggere

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Il teorema di Shannon per il campionamento

Il teorema di Shannon per il campionamento considera il problema seguente. Supponiamo di avere un segnale analogico (e quindi continuo) $x(t)$. Digitalmente, non siamo in grado di salvare su disco una quantità continua di segnale, perché occuperebbe memoria infinita. Allora … Continua a leggere

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Il metodo di Aitken per l’accelerazione delle sequenze

Per calcolare alcuni numeri particolari, ad esempio $\pi$ oppure $e$, è necessario calcolare alcuni termini di una sequenza $x_n$ (che potrebbero essere ad esempio le somme parziali di una serie) che converge ad un certo numero $x_*$. Tuttavia a volte … Continua a leggere

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Il teorema della palla pelosa

In questo articolo dimostriamo il famoso teorema della palla pelosa, basandoci sul concetto di grado topologico che abbiamo introdotto in un articolo precedente: Teorema. La sfera $S^n$ ammette un campo vettoriale senza zeri se e solo se $n$ è dispari. Dimostrazione. Prima … Continua a leggere

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Il teorema del punto fisso di Brouwer

In questo articolo dimostriamo il famoso teorema del punto fisso, basandoci sul concetto di grado topologico che abbiamo introdotto in un articolo precedente: Teorema. Sia $f: D^n \to D^n$ una funzione continua sul disco $D^n$. Allora $f$ ha un punto fisso. Dimostrazione. … Continua a leggere

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