In questo articolo dimostriamo il famoso teorema del punto fisso, basandoci sul concetto di grado topologico che abbiamo introdotto in un articolo precedente:
Teorema. Sia $f: D^n \to D^n$ una funzione continua sul disco $D^n$. Allora $f$ ha un punto fisso.
Dimostrazione. Il disco $D^n$ è l’insieme dei punti $\vec{x} \in \R^{n}$ con $\norm{\vec{x}} \leq 1$. La dimostrazione procede per contraddizione. Supponiamo al contrario che $f$ non abbia nessun punto fisso. Allora possiamo definire una “retrazione” $r$ di $f$ sul bordo di $D^n$, ovvero $r: D^n \to \partial D^n \cong S^{n-1}$ tramite la figura seguente:
Ovvero poiché $f(x) \neq x$ per ogni $x$, esiste ed è unica la retta che passa attraverso $x$ e $f(x)$. La retta intercetta il bordo $\partial D^n$ (che è banalmente la sfera $S^{n-1}$) in esattamente due punti: scegliamo quello più vicino a $x$.
Per costruzione $r$ è una vera e propria retrazione, ovvero lascia il bordo invariato. In altre parole $r \lvert_{\partial D^n} \equiv \mathrm{id}$. Ora chiamiamo $i: \partial D^n \to D^n$ l’inclusione del bordo in $D^n$. Ovvero banalmente $i(x)=x$ per ogni punto del bordo. Allora la composizione
$$i \circ r : S^{n-1} \to S^{n-1}$$
è una mappa tra sfere e quindi ha un grado definito. In particolare come abbiamo appena visto $i \circ r$ è l’identità, che abbiamo visto nell’articolo precedente ha grado topologico pari ad $1$.
Tuttavia $D^n$ è omotopicamente equivalente ad un punto, cioè può essere contratto ad un punto. Applicando l’omotopia a $i \circ r$ otteniamo che $i \circ r$ è omotopica alla mappa costante. Ma la mappa costante ha grado pari a $0$; poiché l’equivalenza omotopica preserva il grado topologico, abbiamo una contraddizione. $\square$