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Consideriamo un gruppo finito $G$. Un commutatore in $G$ è un elemento della forma $[g,h]=g h g^{-1} h^{-1}$ dove $g,h \in G$. In questo articolo dimostriamo che $g \in G$ è un commutatore se e solo se $$\sum_j \frac{\chi_j(g)}{\chi_j(1)} \neq … Continua a leggere→

Consideriamo un gruppo $G$ ed un suo sottogruppo $H \leq G$. Due concetti importanti sono quelli di centralizzatore e normalizzatore. In particolare, il centralizzatore $C(H)$ è il sottoinsieme di elementi di $G$ che commutano con ognuno degli elementi di $H$: … Continua a leggere→

Tipicamente una rappresentazione $\rho$ di un gruppo $G$ su uno spazio vettoriale $V$ considera spazi vettoriali complessi. Alcune rappresentazioni complesse sono reali, ovvero esiste una base in cui le matrici $\rho(g)$ sono tutte reali. Abbiamo visto in un precedente articolo che … Continua a leggere→

In un precedente articolo, abbiamo visto la distinzione tra rappresentazioni reali, complesse e quaternioniche (o pseudoreali). In questo articolo dimostriamo che è possibile capire quale delle tre valga per una certa rappresentazione irriducibile utilizzando il cosiddetto indicatore di Frobenius-Schur $\mathrm{FS}$, … Continua a leggere→

Dato un gruppo $G$, è molto utile costruirne una rappresentazione esplicita in termini di matrici. La teoria delle rappresentazioni tratta esattamente questo problema. In questo articolo trattiamo il seguente problema: ovvero come si comporta una rappresentazione rispetto alla coniugazione complessa. … Continua a leggere→