Consideriamo un gruppo $G$ ed un suo sottogruppo $H \leq G$. Due concetti importanti sono quelli di centralizzatore e normalizzatore. In particolare, il centralizzatore $C(H)$ è il sottoinsieme di elementi di $G$ che commutano con ognuno degli elementi di $H$:
$$C(H) = \{g \in G \,\,|\,\,gh = hg \,\,\mathrm{per}\,\mathrm{ogni}\,h \in H\}$$
Il normalizzatore $N(H)$ è invece definito da una condizione meno restrittiva, ovvero sono gli elementi di $G$ che coniugando un elemento di $H$ producono un altro elemento di $H$:
$$N(H) = \{g \in G \,\,|\,\,ghg^{-1} \in H \,\,\mathrm{per}\,\mathrm{ogni}\,h \in H\}$$
Non è difficile verificare che tanto $C(H)$ quanto $N(H)$ siano sottogruppi di $G$, e che inoltre $C(H) \leq N(H)$. È importante notare che i gruppi $C(H)$ e $N(H)$ non dipendono solo da $H$ ma anche da $G$: perciò talvolta si denotano come $C_G(H)$ e $N_G(H)$. Abbiamo il seguente teorema, detto appunto teorema “N/C”:
Teorema. Sia $H \leq G$. Allora il gruppo $N(H)/C(H)$ (in $G$) è isomorfo ad un sottogruppo di $\mathrm{Aut}(H)$.
Notiamo che il quoziente $N(H)/C(H)$ è un gruppo poiché $C(H)$ è un sottogruppo normale di $N(H)$, cosa che non è difficile dimostrare. Il gruppo $\mathrm{Aut}(H)$ è il gruppo degli automorfismi di $H$, ovvero degli omomorfismi invertibili $f: H\to H$. In realtà la dimostrazione ci permette anche di identificare qual è il sottogruppo di $\mathrm{Aut}(H)$.
Poiché abbiamo $N(G)=G$ e $C(G)=Z(G)$, allora dal teorema segue un corollario:
Corollario. $G/Z(G) \cong \mathrm{Inn}(G)$.
Dove $\mathrm{Inn}(G)$ (che sta per “inner“) è il gruppo degli automorfismi interni di $G$, ovvero quelli della forma $g \to g_1 g g_1^{-1}$ per $g_1 \in G$ fissato. Questo risultato non è poi granché, dato che è banale dimostrarlo. In ogni caso procediamo alla dimostrazione del risultato principale:
Dimostrazione. Definiamo una mappa $\Phi: N(H) \to \mathrm{Aut(H)}$ che associa ad ogni elemento $t \in N(H)$ l’automorfismo $f_t$ di $H$ dato da $f_t(h) = t h t^{-1}$. Dato $t \in N(H)$, $f_t(h)\in H$ per la definizione di $N(H)$ ed è palesemente un omorfismo invertibile. Notiamo che $f_t$ non è necessariamente un automorfismo interno di $H$, cosa che sarebbe vera solo se $t \in H$. Non è difficile dimostrare che $\Phi$ è esso stesso un omomorfismo, infatti:
$$\Phi(t) \circ \Phi(s) (h) = f_t \circ f_s(h) = f_t(s h s^{-1}) = ts h (ts)^{-1} = \Phi(ts)(h)$$
Ne segue che $\mathrm{im}\Phi$ è un sottogruppo di $\mathrm{Aut(H)}$ e per il teorema d’isomorfismo questo sottogruppo è isomorfo a $N(H)/\mathrm{ker}(\Phi)$. Ma $\mathrm{ker}(\Phi)$ è formato da tutti quei $t$ tali che la mappa $f_t$ è l’identità, ovvero $t h t^{-1}=h$ per ogni $h$. Ma questa è proprio la definizione di C(H)$. Ciò conclude la dimostrazione. $\square$
Il corollario segue perché è palese che se $H=G$ allora $\Phi$ è una mappa suriettiva su $\mathrm{Inn}(G)$, ovvero $\Phi(t)$ è sempre un automorfismo interno.