Tipicamente una rappresentazione $\rho$ di un gruppo $G$ su uno spazio vettoriale $V$ considera spazi vettoriali complessi. Alcune rappresentazioni complesse sono reali, ovvero esiste una base in cui le matrici $\rho(g)$ sono tutte reali. Abbiamo visto in un precedente articolo che le rappresentazioni complesse, reali e pseudoreali sono classificate dall’indicatore di Frobenius-Schur. In questo articolo vediamo una cosa diversa, ovvero come trasformare una rappresentazione complessa arbitraria in una rappresentazione reale su uno spazio in dimensione doppia.
In realtà la cosa è completamente ovvia, ma la cosa interessante è che la “cosa ovvia” funziona. Data una rappresentazione complessa $\rho(g)$ possiamo separarla nella parte reale e immaginaria scrivendo
$$\rho(g) = \rho_R(g) + i \rho_I(g)$$
dove $\rho_R$ e $\rho_I$ sono matrici reali. Alla stessa maniera dato un vettore complesso $v \in V$ possiamo scrivere
$$v = v_R + i v_I$$
dove $v_R$ e $v_I$ sono reali. L’azione di $\rho(g)$ è data da
$$\rho(g) v = (\rho_R(g) + i \rho_I(g)) (v_R + i v_I) = \rho_R(g) v_R -\rho_I(g) v_I + i (\rho_R(g) v_I + \rho_I(g) v_R)$$
Mappando quindi
$$v \to \begin{pmatrix} v_R \\ v_I \end{pmatrix}$$
cioè mappando $V$ ad uno spazio vettoriale reale di dimensione doppia $\widetilde{V}$, l’azione di $\rho$ su $V$ equivale all’azione di una rappresentazione $\widetilde{\rho}$ su $\widetilde{V}$, che, leggendo da sopra, è data da
$$\widetilde{\rho}(g) = \begin{pmatrix} \rho_R(g) & -\rho_I(g) \\ \rho_I(g) & \rho_R(g) \end{pmatrix}$$
Chiaramente $\widetilde{\rho}$ è reale. Inoltre $\widetilde{\rho}$ è una rappresentazione di $G$ ed è una matrice ortogonale (e quindi anche unitaria, essendo reale). Dimostriamo questi ultimi due fatti. Notiamo che
\begin{align*}
\rho(g_1) \rho(g_2) &= (\rho_R(g_1) + i \rho_I(g_1)) (\rho_R(g_2) + i \rho_I(g_2)) =\\
&=\rho_R(g_1) \rho_R(g_2) -\rho_I(g_1)\rho_I(g_2) +i \bqty{\rho_R(g_1) \rho_I(g_2) +\rho_I(g_1) \rho_R(g_2) }
\end{align*}
Ma poiché $\rho$ è una rappresentazione allora $\rho(g_1) \rho(g_2) = \rho(g_1 g_2)$ e quindi otteniamo
\begin{align*}
\rho_R(g_1 g_2) &=\rho_R(g_1) \rho_R(g_2) -\rho_I(g_1)\rho_I(g_2)\\
\rho_I(g_1 g_2) &=\rho_R(g_1) \rho_I(g_2) +\rho_I(g_1) \rho_R(g_2)
\end{align*}
Ne segue che
\begin{align*}
\widetilde{\rho}(g_1) \widetilde{\rho}(g_2) &= \begin{pmatrix} \rho_R(g_1) & -\rho_I(g_1) \\ \rho_I(g_1) & \rho_R(g_1) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \rho_R(g_2) & -\rho_I(g_2) \\ \rho_I(g_2) & \rho_R(g_2) \end{pmatrix} =\\
&=\begin{pmatrix} \rho_R(g_1) \rho_R(g_2) -\rho_I(g_1)\rho_I(g_2) & -\rho_R(g_1) \rho_I(g_2) -\rho_I(g_1) \rho_R(g_2) \\ \rho_R(g_1) \rho_I(g_2) +\rho_I(g_1) \rho_R(g_2) & \rho_R(g_1) \rho_R(g_2) -\rho_I(g_1)\rho_I(g_2) \end{pmatrix}=\\
&=\begin{pmatrix} \rho_R(g_1 g_2) & -\rho_I(g_1 g_2) \\ \rho_I(g_1 g_2) & \rho_R(g_1 g_2) \end{pmatrix} =\widetilde{\rho}(g_1 g_2)
\end{align*}
e quindi $\widetilde{\rho}$ è una rappresentazione. Ora vogliamo dimostrare che è ortogonale. Poiché $\rho$ è unitaria, allora
$$\rho(g^{-1}) = \rho(g)^\dagger = \rho_R(g)^T -i \rho_I(g)^T$$
dato che $\rho_R$ e $\rho_I$ sono reali. Ne segue che $\rho_R(g^{-1}) = \rho_R(g)^T$, mentre $\rho_I(g^{-1})=-\rho_I(g)^T$, perciò
$$\widetilde{\rho}(g^{-1}) = \begin{pmatrix} \rho_R(g)^T & \rho_I(g)^T \\ -\rho_I(g)^T & \rho_R(g)^T \end{pmatrix} = \widetilde{\rho}(g)^T$$
e quindi $\widetilde{\rho}$ è ortogonale. Questa costruzione ad esempio dimostra che ogni rappresentazione di $\U(N)$ può essere vista come una certa rappresentazione di $\O(2N)$.
È anche interessante calcolare l’indicatore di Frobenius-Schur. Abbiamo infatti
$$\mathrm{FS}(\widetilde{\rho}) = \frac{1}{\abs{G}} \sum_{g \in G} \tr \widetilde{\rho}(g^2) =\frac{2}{\abs{G}}\mathrm{Re}\sum_{g \in G} \tr \rho(g^2) = 2 \mathrm{FS}(\rho)$$
dato che l’indicatore di Frobenius-Schur è reale. Quasi mai $\widetilde{\rho}$ è irriducibile, e quindi il suo indicatore non sarà $0,\pm 1$, ma più genericamente un qualche numero intero.
Supponiamo allora che $\rho$ sia irriducibile. Ciò è equivalente al fatto che il suo carattere $\chi$ soddisfi $\expval{\chi, \chi}=1$, ovvero
$$1=\frac{1}{\abs{G}} \sum_{g \in G} \abs{\chi(g)}^2 = \frac{1}{\abs{G}} \sum_{g \in G} \bqty{(\mathrm{Re}\chi(g))^2+(\mathrm{Im}\chi(g))^2}$$
Al contrario il carattere di $\widetilde{\rho}$ è dato da $\widetilde{\chi} = 2 \mathrm{Re} \chi$ e quindi l’irriducibilità di $\widetilde{\rho}$ è equivalente a
$$1=4 \frac{1}{\abs{G}} \sum_{g \in G} (\mathrm{Re}\chi(g))^2$$
che va valutato caso per caso.