Archivi categoria: regolarizzazione $\zeta$

Nella serie di articoli sul calcolo dell’anomalia chirale, abbiamo calcolato il Jacobiano della trasformazione per $\alpha$ infinitesimale: $$\log{J[\alpha]} =\int d^2 x\, \alpha(x) i\frac{e}{\pi} F_{41} +\mathcal{O}(\alpha)^2$$ Con un trucco possiamo di qui ottenere il risultato per $\alpha$ finito. Il risultato non … Continua a leggere→

Alla fine del precedente articolo eravamo arrrivati a $$\partial_\mu\fdv{\zeta(s)}{Q^\mu(x)}\bigg\lvert_{Q=0}=4is \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty d\tau\, \tau^{s-1} \mathrm{tr}\bqty{ \gamma_5 g(x,x;\tau)}\\ \mathrm{tr}\bqty{ \gamma_5 g(x,x;\tau)}=\frac{1}{\tau}\sum_{m=0}^\infty \mathrm{tr}\pqty{\gamma_5 C_m} \sqrt{\tau}^m$$ Nonostante ci piacerebbe, non possiamo scambiare la serie con l’integrale, perché altrimenti ogni termine della serie divergerebbe. Quali … Continua a leggere→

Alla fine del precedente articolo eravamo arrivati alla formula $$\partial_\mu\fdv{\zeta(s)}{Q^\mu(x)}\bigg\lvert_{Q=0}=4is \sum_n\frac{1}{\lambda_n^{s}} \varphi_n(x)^\dagger \gamma_5\varphi_n(x)$$ A questo punto continuiamo a massaggiare quest’ultima espressione fino a ottenere qualcosa con cui possiamo lavorare. Il problema è che non conosciamo le autofunzioni $\varphi_n$, per cui … Continua a leggere→

In questa serie di articoli calcoliamo l’anomalia chirale in $1+1$ dimensioni utilizzando la regolarizzazione tramite funzione zeta. Nel precedente articolo, abbiamo visto che è sufficiente calcolare $$\fdv{\log{\det{\Omega}}}{\alpha}\bigg\lvert_{\alpha=0}= \dv{}{s} \bigg\lvert_{s=0}\partial_\mu\fdv{\zeta(s)}{Q_\mu}\bigg\lvert_{Q=0}$$ per cui abbiamo trovato la formula $$\fdv{\zeta(s)}{Q^\mu(w)} =- s \sum_n\frac{1}{\Lambda_n^{s+1}}  \int … Continua a leggere→

In questa serie di articoli calcoliamo l’anomalia chirale in $1+1$ dimensioni utilizzando la regolarizzazione tramite funzione zeta. Nel precedente articolo abbiamo visto che il Jacobiano della trasformazione assiale è dato da $$\log{J[\alpha]} = -\frac12 \int d^2 x\, \alpha(x) \fdv{\log{\det{\Omega}}}{\alpha}\bigg\lvert_{\alpha=0} +\mathcal{O}(\alpha)^2$$ … Continua a leggere→