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Supponiamo di avere una matrice $A$ (quadrata) e di voler calcolare una serie infinita della forma $$f(A) = \sum_{n=0}^\infty f_n A^n$$ dove $c_n$ sono dei coefficienti reali arbitrari. Ad esempio delle serie del genere vengono fuori in alcuni casi quando … Continua a leggere→

In questo articolo dimostriamo il famoso teorema della palla pelosa, basandoci sul concetto di grado topologico che abbiamo introdotto in un articolo precedente: Teorema. La sfera $S^n$ ammette un campo vettoriale senza zeri se e solo se $n$ è dispari. Dimostrazione. Prima … Continua a leggere→

In questo articolo dimostriamo il famoso teorema del punto fisso, basandoci sul concetto di grado topologico che abbiamo introdotto in un articolo precedente: Teorema. Sia $f: D^n \to D^n$ una funzione continua sul disco $D^n$. Allora $f$ ha un punto fisso. Dimostrazione. … Continua a leggere→

Il grado topologico è un invariante topologico per mappe continue tra sfere della forma $S^n \to S^n$ che torna utile in molti casi. Una delle particolarità della sfera $S^n$ è che uno dei suoi gruppi di omotopia è $\pi_n(S^n) \cong … Continua a leggere→

Abbiamo visto una serie di articoli sulle forme differenziali, e un’altra serie sulla coomologia di de Rham, nonché un articolo sull’indice di un operatore differenziale. In questo articolo vediamo un teorema dell’indice per le forme differenziali. Consideriamo l’operatore $D = … Continua a leggere→