Abbiamo visto una serie di articoli sulle forme differenziali, e un’altra serie sulla coomologia di de Rham, nonché un articolo sull’indice di un operatore differenziale. In questo articolo vediamo un teorema dell’indice per le forme differenziali.
Consideriamo l’operatore $D = d + \delta$. Come abbiamo visto, per le forme differenziali $\delta$ è l’operatore aggiunto di $d$ e quindi $D$ è autoaggiunto (perlomeno formalmente). Perciò non possiamo giocare allo stesso gioco dell’articolo precedente, o quantomeno l’indice lì definito è banalmente nullo. Tuttavia chiamando $\Omega_p$ lo spazio delle $p$-forme, abbiamo $d: \Omega_p \to \Omega_{p+1}$ e $\delta: \Omega_p \to \Omega_{p-1}$. Perciò possiamo formare gli spazi delle forme pari e dispari,
$$\Omega_+ = \bigotimes_{p\,\mathrm{pari}} \Omega_p \ , \qquad \Omega_- = \bigotimes_{p\,\mathrm{dispari}}$$
Poiché tanto $d$ quanto $\delta$ mappano forme pari a forme dispari e viceversa, $\Omega_{\pm}$ formano due spazi naturali dove $D$ agisce. Perciò possiamo definire due versioni di $D$ in relazione allo spazio in cui agisce:
\begin{align}
D_+ &: \Omega_+ \to \Omega_-\\
D_- &: \Omega_- \to \Omega_+
\end{align}
dove $D_{\pm } = d + \delta$. A questo punto i due operatori soddisfano un teorema dell’indice, ovvero
$$\dim\ker{D_+} -\dim\ker{D_-} = \chi(M)$$
dove $\chi(M)$ è la caratteristica di Eulero della varietà $M$ dove sono definite le forme.
Notiamo innanzittuto che poiché $d^2=\delta^2=0$ allora $D$ è una radice quadrata del Laplaciano, cioè
$$D^2 = \delta d + d \delta = \Delta$$
dove $\Delta$ è l’operatore di Laplace-Beltrami. Ora consideriamo una forma $\alpha$ tale che $D \alpha = 0$. Ciò vuol dire in particolare che
$$0=(D\alpha, D\alpha) = (\alpha, \Delta \alpha) = (\alpha, \delta d \alpha) + (\alpha, d\delta \alpha) = (d\alpha, d\alpha) + (\delta \alpha, \delta \alpha)$$
Poiché entrambi i termini a destra sono non-negativi, allora devono entrambi essere nulli, e quindi
$$D \alpha = 0 \qquad \implies \qquad d\alpha=\delta\alpha=0$$
Ci possiamo limitare a considerare $p$-forme $\alpha$ con $p$ definito e poi prendere la somma diretta degli eventuali $p$-spazi (d’altronde non si intersecano). Perciò supponiamo che $\alpha$ sia una $p$-forma. Abbiamo appena dimostrato che $\alpha \in \ker{D}$ se e solo se $\Delta \alpha = 0$, cioè se $\alpha$ è armonica. A questo punto dobbiamo usare un qualche risultato più potente. Il teorema di Hodge afferma che se $M$ è una varietà Riemanniana compatta senza bordo, allora lo spazio delle $p$-forme armoniche è isomorfo al $p$-esimo gruppo di coomologia di de Rham con coefficienti in $\R$, la cui dimensione è data dal $p$-esimo numero di Betti $b_p$. Da questa caratterizzazione segue che
\begin{align*}
\dim\ker{D_+} &= \sum_{p\, \mathrm{pari}} b_p\\
\dim\ker{D_-} &= \sum_{p\, \mathrm{dispari}} b_p
\end{align*}
dove i $b_p$ sono i numeri di Betti. E quindi
$$\dim\ker{D_+} -\dim\ker{D_-} =\sum_{p=0}^{\mathrm{dim}(M)} (-1)^p b_p \equiv \chi(M)$$
dove abbiamo usato una delle formule per la caratteristica di Eulero.