In un articolo precedente, abbiamo visto come funziona la datazione di alcune rocce come lo zircone, tramite il decadimento uranio a piombo. Tuttavia abbiamo considerato solo il caso più semplice, in cui non c’è nessuna aggiunta o perdita di materiale. Un modello più concreto, che consideriamo in questo articolo, tiene conto anche di questo fatto. Seguiamo (in parte) Wetherill, Discordant uranium-lead ages.
Supponiamo di avere il decadimento $X \to Y$. Sappiamo che i decadimenti radioattivi seguono l’equazione differenziale
$$\dv{X(t)}{t} = -\lambda_X X(t)$$
dove $X(t)$ è la quantità di $X$ e $\lambda_X$ è la costante di decadimento. La soluzione di questa equazione è elementare e dà luogo ad un decadimento esponenziale. Ne abbiamo parlato nell’articolo precedente. Inoltre $Y$ soddisfa l’equazione
$$\dv{Y(t)}{t} = \lambda_X X(t)$$
in modo tale che la somma $X+Y$ rimanga costante.
Ora vogliamo considerare un caso specifico, ovvero la situazione in cui in un certo momento specifico ci sia stata una perdita o aggiunta di materiale. Modifichiamo le equazioni per includere questo effetto,
\begin{align}
\dv{X(t)}{t} &= -\lambda_X X(t) + M(t) X(t)\\
\dv{Y(t)}{t} &=\lambda_X X(t) + N(t) Y(t)
\end{align}
dove $M$ e $N$ sono l’aumento percentuale istantaneo di materiale. Nel caso specifico dell’articolo precedente, quello dello zircone con il decadimento uranio-piombo, avevamo detto che allo zircone non piace il piombo e lo espelle facilmente (ad esempio se la temperatura aumenta). Per valutare questo effetto, supponiamo che sia avvenuto un singolo evento nel passato in cui si è persa una certa frazione di piombo. Allora abbiamo $M(t) \equiv 0$, e quindi la soluzione per $X$ è identica a prima:
$$X(t) = X(0) e^{-\lambda_X t}$$
Al contrario $N$ può essere modellato come una funzione delta, ovvero $N(t) = -\alpha \delta(t-t_*)$, dove la costante è negativa perché il piombo è espulso. Allora sostituendo in $Y$ e risolvendo troviamo
$$f(t) Y(t)-f(0)Y(0) = \lambda \int_0^t f(t’) X(t’) dt’$$
dove $f(t) = e^{-\int_0^t N(t’) dt’}$. L’integrale della funzione delta altro non è se non la funzione scalino,
$$\int_0^t N(t’) dt’ = -\alpha H(t-t_*)$$
pari ad $1$ se $t > t_*$ e zero altrimenti. Inoltre nel caso dello zircone, potevamo supporre che inizialmente non ci fosse piombo, e quindi,
$$e^{\alpha H(t-t_*)} Y(t) = \lambda X(0) \int_0^t e^{\alpha H(t’-t_*) -\lambda t’} dt’$$
Perciò se $t < t_*$ la soluzione è identica a prima, ovvero
$$\frac{Y(t)}{X(t)} = e^{\lambda_X t}-1$$
Mentre invece se $t > t_*$ abbiamo
$$\frac{Y(t)}{X(t)} = e^{\lambda_X t} [e^{-\lambda_X t_*} + e^{-\alpha}(1-e^{-\lambda_X t_*}) ]-1$$
Se $\alpha=0$ otteniamo giustamente l’equazione precedente. Come sappiamo abbiamo due decadimenti possibili, e quindi al tempo $t < t_*$ abbiamo
\begin{align}
\frac{{}^{206} \mathrm{Pb}}{{}^{238} \mathrm{U}} &=e^{t \lambda_{238}}-1 \\
\frac{{}^{207} \mathrm{Pb}}{{}^{235} \mathrm{U}} &=e^{t \lambda_{235}}-1
\end{align}
Mentre invece al tempo $t > t_*$ abbiamo:
\begin{align}
\frac{{}^{206} \mathrm{Pb}}{{}^{238} \mathrm{U}} &= e^{\lambda_{238} t} [e^{-\lambda_{238} t_*} + e^{-\alpha}(1-e^{-\lambda_{238} t_*}) ]-1 \\
\frac{{}^{207} \mathrm{Pb}}{{}^{235} \mathrm{U}} &= e^{\lambda_{235} t} [e^{-\lambda_{235} t_*} + e^{-\alpha}(1-e^{-\lambda_{235} t_*}) ]-1
\end{align}
La cosa cruciale in queste ultime due equazioni è che la perdita di piombo è identica per i due diversi isotopi. Infatti da un punto di vista chimico sono identici, e quindi matematicamente in particolare abbiamo $\alpha$ identico nei due casi. Ciò vuol dire quanto segue: supponiamo di avere dei campioni di zircone provenienti tutti dalla stessa zona, che presumibilmente si sono quindi tutti formati allo stesso tempo, e inoltre hanno sperimentato tutti allo stesso tempo un qualche evento istantaneo che ha portato alla perdita di piombo. Allora i vari campioni avranno lo stesso $t_*$ e lo stesso $t$, dato che li stiamo misurando tutti oggi allo stesso momento. Avranno però un diverso $\alpha$: perché magari si sono scaldati a temperature diverse, oppure le caratteristiche delle impurità rendevano più o meno probabile la perdita di piombo. Immaginando di plottare il un piano cartesiano il valore attuale $(\frac{{}^{207} \mathrm{Pb}}{{}^{235} \mathrm{U}}, \frac{{}^{206} \mathrm{Pb}}{{}^{238} \mathrm{U}})$ per ognuno dei campioni, troveremo perciò che si trovano tutti su una linea retta. Ciò perché appunto stiamo praticamente variando $e^{-\alpha}$ nell’equazione sopra, con $t$ costante. In modo più esplicito, possiamo risolvere una delle due equazioni per $e^{-\alpha}$ e sostituirla nell’altra, ottenendo,
$$\frac{\pqty{\frac{{}^{206} \mathrm{Pb}}{{}^{238} \mathrm{U}} + 1} e^{-\lambda_{238} (t-t_*)} -1}{e^{\lambda_{238} t_*}-1} =\frac{\pqty{\frac{{}^{207} \mathrm{Pb}}{{}^{235} \mathrm{U}} + 1} e^{-\lambda_{235} (t-t_*)} -1}{e^{\lambda_{235} t_*}-1}$$
che appunto lega i due rapporti in maniera lineare per $t$ costante. Ciò è esattamente quello che viene osservato in alcuni casi sperimentali, come nel caso seguente (preso da Wikipedia):
In questo caso il grafico detto (“diagramma di concordia”) riporta sulle ascisse il rapporto $\frac{{}^{207} \mathrm{Pb}}{{}^{235} \mathrm{U}}$ e sulle ordinate il rapporto $\frac{{}^{206} \mathrm{Pb}}{{}^{238} \mathrm{U}}$. I quadratini rappresentano dei punti sperimentali che si riferiscono ad alcuni zirconi trovati nella cintura di Pfunze in Zimbabwe. Come vediamo, i punti sperimentali si trovano su una retta, come predetto dalla discussione precedente.
Nel diagramma c’è anche una curva, detta “curva di concordia”, che si riferisce al caso ideale in cui non c’è perdita di piombo: in tal caso valgono le equazioni con $\alpha=0$ (che sono identiche al caso $t < t_*$ ma valide per ogni $t$ se $\alpha=0$). Da una di quelle equazioni possiamo ricavare $t$ e sostituirlo nell’altra, ottenendo
$$ \frac{{}^{206} \mathrm{Pb}}{{}^{238} \mathrm{U}} = \pqty{\frac{{}^{207} \mathrm{Pb}}{{}^{235} \mathrm{U}} +1 }^{\lambda_{238}/\lambda_{235}}-1$$
che è la curva plottata nel grafico. Se c’è concordia tra le due misurazioni date dai due decadimenti, allora il punto sperimentale deve trovarsi esattamente sulla curva di concordia, che è appunto la curva plottata nel grafico. Poiché nel nostro caso nessuno dei punti (o al massimo uno) si trova sulla curva, concludiamo che in (quasi) ognuno di questi casi è probabile ci sia stata della perdita di piombo.
Utilizzando questo grafico, è quindi possibile risalire tanto a $t_*$ quanto a $t$. In particolare, genericamente ci sono due punti di intersezione tra la linea retta e la curva di concordia. Ognuno di questi due punti del grafico è, in particolare, sulla curva di concordia, e quindi esiste in ognuno di questi due punti un $\widetilde{t}$ che soddisfa
\begin{align}
\frac{{}^{206} \mathrm{Pb}}{{}^{238} \mathrm{U}} &=e^{\widetilde{t} \lambda_{238}}-1 \\
\frac{{}^{207} \mathrm{Pb}}{{}^{235} \mathrm{U}} &=e^{\widetilde{t} \lambda_{235}}-1
\end{align}
Sostituendo queste due espressioni nell’equazione lineare che collega i due rapporti, è facile vedere che $\widetilde{t}=t$ (il tempo trascorso dalla formazione della roccia ad oggi) è una soluzione dell’equazione, così come anche $\widetilde{t} = t-t_*$. Ciò vuol dire che trovando i due punti di intersezione, e poi risalendo indietro ai corrispondenti valori di $t$ nella curva di concordia, troviamo sia l’età della roccia ovvero il tempo trascorso dalla sua formazine ($t$), sia il tempo trascorso dall’evento che ha condotto alla perdita di piombo (ovvero $t-t_*$). Con queste informazioni è poi possibile anche risalire alla quantità di piombo perso nell’evento, per ognuno dei campioni (basta invertire l’equazione sopra e trovare $\alpha$).
È possibile costruire anche dei modelli più complicati, in cui ci sono stati più eventi di perdita di piombo (basta ripetere l’analisi più volte), oppure in cui ci sia stata aggiunta di piombo (basta invertire $\alpha$). Oppure ancora, modificando l’equazione originale, in cui il piombo (o l’uranio) viene aggiunto/perso in maniera continua.