Consideriamo un gruppo finito $G$. Un commutatore in $G$ è un elemento della forma $[g,h]=g h g^{-1} h^{-1}$ dove $g,h \in G$. In questo articolo dimostriamo che $g \in G$ è un commutatore se e solo se
$$\sum_j \frac{\chi_j(g)}{\chi_j(1)} \neq 0$$
dove la somma è su tutti i caratteri irriducibili di $G$. Il punto di partenza è una formula che abbiamo dimostrato in un articolo precedente,
$$\chi(g) \chi(h) = \frac{\chi(1)}{\abs{G}} \sum_{k \in G} \chi (g k h k^{-1})$$
Ponendo $g=x$ e $h = x^{-1}$ abbiamo
$$\abs{\chi(x)}^2 = \chi(x) \chi(x^{-1}) = \frac{\chi(1)}{\abs{G}} \sum_{k \in G} \chi (x k x^{-1} k^{-1})$$
L’espressione a destra è precisamente il commutatore tra $x$ e $k$, ovvero $[x,k] = x k x^{-1} k^{-1}$. Moltiplicando entrambi i lati per $\chi(g)^*$ e sommando su tutti i caratteri irriducibili indicizzati da $j$, otteniamo
$$\sum_j \frac{\abs{\chi_j(x)}^2 \chi_j(g)^*}{\chi_j(1)} =\frac{1}{\abs{G}} \sum_{k \in G} \sum_j \chi_j([x,k]) \chi_j(g)^*$$
L’ultima somma è esplicitamente nota: per le relazioni di ortogonalità è uguale a $0$ se $g$ e $[x,k]$ appartengono a diverse classi di coniugazione, mentre invece è uguale a $\abs{G}/\abs{C}$ dove $C$ è la classe di coniugazione di $g$ e $[x,k]$ se appartengono alla stessa classe. Ora sommiamo anche su tutti gli $x$ da entrambi i lati. Poiché $\chi_j$ è un carattere irriducibile, le relazioni di ortogonalità ci dicono che
$$\frac{1}{\abs{G}}\sum_x \abs{\chi_j(x)}^2 =1$$
e quindi otteniamo la relazione (prendendo il complesso coniugato)
$$\sum_j \frac{\chi_j(g)}{\chi_j(1)} =\frac{1}{\abs{G}^2} \sum_{x, k \in G} \sum_j \chi_j([x,k])^* \chi_j(g)$$
Possiamo ora procedere con la dimostrazione. Notiamo che se $g$ è un commutatore, ovvero $g = [u,v]$ per $u,v \in G$, allora come abbiamo visto già in un precedente articolo anche $w g w^{-1} = [w u w^{-1}, w v w^{-1}]$ è un commutatore. Quindi $g$ è un commutatore se e solo se ogni coniugato di $g$ è un commutatore. Perciò possiamo dimostrare una direzione del teorema: se $g$ non è un commutatore, allora tutte le somme a destra sono nulle, $\sum_j \chi_j([x,k])^* \chi_j(g)=0$ e quindi anche la somma che a sinistra è nulla come richiesto, $\sum_j \frac{\chi_j(g)}{\chi_j(1)}=0$.
Per l’altra direzione, se $g$ è un commutatore allora tutta la classe di coniugazione $C(g)$ sarà composta da commutatori. In particolare, quindi $\sum_j \chi_j([x,k])^* \chi_j(g) = \abs{G}/\abs{C(g)} \neq 0$ per ogni $[x,k] \in C(g)$. Poiché i termini della serie sono positivi o nulli, allora non ci possono essere cancellazioni e quindi in particolare la somma a destra è non-nulla e quindi anche quella a sinistra è non-nulla, $\sum_j \frac{\chi_j(g)}{\chi_j(1)} \neq 0$. Ciò è sufficiente a concludere la dimostrazione della proposizione.