Consideriamo una matrice ortogonale speciale $O \in \SO(N)$. Seguiamo questa risposta su Math Overflow. Possiamo scrivere la matrice in forma a blocchi come
$$O = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}$$
dove $O$ è $N \times N$, e $A$, $D$ sono matrici a blocchi arbitrarie, purché quadrate, mentre $B$ e $C$ possono anche essere rettangolari. Poiché $O$ è ortogonale abbiamo
$$I = O O^T = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A^T & C^T \\ B^T & D^T \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A A^T + B B^T & A C^T + B D^T \\ C A^T + D B^T & C C^T + D D^T \end{pmatrix}$$
Perciò abbiamo $A A^T + B B^T=C C^T + D D^T=I$ e $A C^T + B D^T=0$ (l’altro elemento è il trasposto di quest’ultima). Allora notiamo che
$$\begin{pmatrix} A & B \\ 0 & I \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A^T & C^T \\ B^T & D^T \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A A^T + B B^T & A C^T + B D^T \\ B^T & D^T \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I & 0 \\ B^T & D^T \end{pmatrix}$$
dove abbiamo usato le relazioni sopra. Calcolando il determinante da entrambi i lati, poiché $O$ è in $\SO(N)$ allora $\det{O}=\det{O}^T=1$ e quindi la seconda matrice a sinistra ha determinante uno. Le altre due sono triangolari a blocchi, e quindi calcolare il loro determinante è semplice, ovvero
$$\det{A}=\det{D}$$
che il risultato che cercavamo: ovvero il determinante dei due blocchi diagonali è uguale.