La disuguaglianza di Markov è una disuguaglianza che si applica ad una distribuzione di probabilità generica purché positiva:
Teorema (disuguaglianza di Markov). Sia $X$ una variabile casuale reale non-negativa. Allora per ogni $a > 0$, abbiamo
$$\mathbb{P}(X \geq a) \leq \frac{\mathbb{E}(X)}{a}$$
Dimostrazione. Chiamiamo $p(x)$ la densità di probabilità di $X$. Poiché $X$ è non-negativa, allora $p(x) = 0$ per $x \leq 0$. Allora (usando la notazione per cui $X$ è una variabile continua, altrimenti rimpiazziamo integrali con somme) abbiamo
$$\mathbb{P}(X \geq a) = \int_{a}^{\infty} p(x) dx$$
Mentre invece
$$\mathbb{E}(X) = \int_{0}^{+\infty} x p(x) dx$$
Perciò è facile vedere che
\begin{align}
\mathbb{E}(X) &= \int_{0}^{+\infty} x p(x) dx = \int_{0}^{a} x p(x) dx + \int_{a}^{+\infty} x p(x) dx= \\
&\geq \int_{a}^{+\infty} x p(x) dx \geq a \int_{a}^{+\infty} p(x) dx = a \mathbb{P}(X \geq a)
\end{align}
dove nella prima riga abbiamo ignorato il primo integrale, che è positivo, mentre nella seconda riga abbiamo usato il fatto che $x \geq a $ nell’intervallo di integrazione. $\square$
Alcune conseguenze della disuguaglianza sono abbastanza semplici. Supponiamo che $f$ sia una funzione crescente. Allora possiamo applicarla a entrambi i lati della disuguaglianza $X \geq a$ ottenendo che essa è equivalente a $f(X) \geq f(a)$. Perciò
$$\mathbb{P}(X \geq a) = \mathbb{P}(f(X) \geq f(a))$$
Abbiamo quindi dimostrato il seguente corollario:
Corollario. Sia $X$ una variabile casuale reale non-negativa e $f$ una funzione crescente. Allora per ogni $a > 0$, abbiamo
$$\mathbb{P}(f(X) \geq f(a)) \leq \frac{\mathbb{E}(X)}{a}$$
e anche
$$\mathbb{P}(X \geq a) \leq \frac{\mathbb{E}(f(X))}{f(a)}$$
Dalla disuguaglianza di Markov segue anche la disuguaglianza di Chebyshev:
Teorema (disuguaglianza di Chebyshev). Sia $X$ una variabile casuale reale. Allora per ogni $a > 0$, abbiamo
$$\mathbb{P}( \abs{X -\mathbb{E}(X) }\geq a) \leq \frac{\mathrm{Var}(X)}{a^2}$$
Dimostrazione. L’idea è appunto di applicare Markov. Prima di tutto però applichiamo la funzione crescente $f(x)=x^2$ ottenendo
$$\mathbb{P}( \abs{X -\mathbb{E}(X) }\geq a) = \mathbb{P}( (X -\mathbb{E}(X) )^2 \geq a^2)$$
Perciò applicando Markov a $Y= (X -\mathbb{E}(X))^2$ e notando che $\mathrm{Var}(X) = \mathbb{E}((X -\mathbb{E}(X))^2)$ otteniamo il risultato voluto. $\square$.