Archivi categoria: gruppi e algebre di Lie

Il gruppo $\U(1)$ è il gruppo di Lie abeliano monodimensionale composto dai numeri complessi $z \in \C$ tale che $\abs{z}=1$. Come varietà, è il cerchio $S^1$. In termini di coordinate, può essere parametrizzato da una variable $\theta \in (0, 2\pi)$ … Continua a leggere→

La formula BCH ci dice che date due matrici $X$ e $Y$, allora $$e^X e^Y = e^Z \\ Z = X+Y + \frac12 [X,Y] + \frac{1}{12}\pqty{[X,[X,Y]]-[Y,[X,Y]]} + \cdots $$ dove la serie è infinita e dipende solo dai commutatori tra … Continua a leggere→

La misura di Haar di un gruppo di Lie permette di calcolare integrali sul gruppo, cioè $$ \int_{G}dU \, f(U)$$ ed è definita in maniera implicita come la misura che soddisfa certe condizioni. In particolare, è invariante per traslazioni nel … Continua a leggere→

Le matrici unitarie $N \times N$ formano il gruppo $\U(N)$, che agisce naturalmente sullo spazio dei vettori complessi con $N$ elementi, ovvero $\C^N$. Tuttavia sappiamo bene che ad ogni numero complesso corrispondono due numeri reali, la sua parte reale e … Continua a leggere→

Abbiamo visto in un precedente articolo la classificazione delle algebre di Lie in una e due dimensioni. In questo articolo vedremo come classificare le algebre di Lie tridimensionali, cosa che risulta utile, ad esempio, in cosmologia. Abbiamo tre generatori $X_1, … Continua a leggere→