Sappiamo tutti che una matrice reale simmetrica è diagonalizzabile da una matrice ortogonale. In questo articolo consideriamo un caso leggermente diverso, ovvero supponiamo che $A$ è sì una matrice simmetrica, ma complessa. Seguiamo Wikipedia. Dimostreremo che esiste una matrice unitaria $U$ e una matrice diagonale $D$ con elementi non-negativi tale che
$$A = U^T D U$$
Se $A$ è inoltre unitaria, allora $D$ è l’identità. Questa scomposizione, nota come scomposizione di Takagi, non è una vera e propria diagonalizzazione (che richiederebbe $U^\dagger$ invece di $U^T$ e inoltre $D$ non contiene gli autovalori di $A$). In generale esiste anche se $A$ non è diagonalizzabile.
Vediamo concretamente come funziona. Data una $A$ arbitraria, possiamo costruire la matrice $B= A^\dagger A$ che è complessa hermitiana, e quindi diagonalizzabile. Perciò abbiamo
$$B = V D’ V^\dagger$$
dove $V$ è unitaria e $D’$ diagonale con elementi reali. Inoltre poiché $B$ è semi-definita positiva, gli elementi di $D’$ sono non-negativi.
A questo punto costruiamo la matrice $C \equiv V^T A V$. Poiché $A$ è simmetrica, allora $C$ è anch’essa complessa simmetrica. Inoltre abbiamo
$$C^\dagger C = V^\dagger A^\dagger V^* V^T A V = V^\dagger B V = D’$$
dove abbiamo notato che $V^* V^T = (V V^\dagger)^* = 1$ dato che $V$ è unitaria. In particolare ciò implica che $C^\dagger C$ è una matrice reale. Scomponendo nella parte reale e immaginaria possiamo quindi scrivere $C = X+iY$ con $X,Y$ reali. Poiché $C$ è simmetrica, anche $X$ e $Y$ sono simmetriche e quindi calcoliamo esplicitamente che
$$C^\dagger C = (X-iY)(X+iY)=X^2 + Y^2 + i (XY-YX)$$
Poiché tuttavia $C^\dagger C$ è reale, come abbiamo visto prima, allora $X$ e $Y$ commutano. Poiché sono reali simmetriche, sono anche diagonalizzabili e quindi sono simultaneamente diagonalizzabili, ovvero esiste una matrice $W$ (reale ortogonale) tale che $X = W D_X W^T$ e $Y=W D_Y W^T$ per $D_X, D_Y$ diagonali reali. Segue che abbiamo
$$C = W D_C W^T$$
dove $D_C = D_X+i D_Y$ è una matrice diagonale complessa. Perciò sostituendo troviamo che
$$A = (WV)^T D_C (WV)$$
dove $WV$ è unitaria, poiché
$$(WV)^\dagger WV = V^\dagger W^\dagger W V = V^\dagger W^T W V = V^\dagger V = 1$$
dato che $W$ è reale ortogonale e $V$ unitaria. Rimane da risolvere quindi soltanto il problema per cui $D_C$ non ha elementi necessariamente non-negativi. Supponiamo che gli elementi siano $(D_C)_{ii} = r_i e^{i\theta_i}$, cioè numeri complessi generici (con $r_i$ reale non-negativo). Allora possiamo decomporre $D_C = D_R D_\theta$ dove $D_R$ è diagonale reale non-negativa (cioè contiene gli $r_i$) mentre $D_\theta$ è diagonale complessa (cioè contiene le fasi). Spezziamo quest’ultima inoltre in due parti, ovvero $D_{\theta} = D_{\theta/2}^2$ dove gli elementi di $D_{\theta/2}$ sono pari a $e^{i\theta_i/2}$. Allora abbiamo
$$A = (WV)^T D_{\theta/2} D_R D_{\theta/2} (WV) = (D_{\theta/2}WV)^T D_R (D_{\theta/2} WV)$$
Ciò conclude la dimostrazione, con $D=D_R$ (diagonale reale con elementi non-negativi) e $U=D_{\theta/2}WV$ unitaria (è facile mostrare che moltiplicare per $D_{\theta/2}$ non cambia l’unitarietà di $WV$).
Vediamo cosa succede se $A$ è inoltre unitaria. In tal caso possiamo scomporre direttamente $A = X+iY$ e poiché $A$ è unitaria (seguendo lo stesso ragionamento fatto prima con $C$) non solo $X$ e $Y$ commutano, ma soddisfano anche $X^2+Y^2=1$. Ciò vuol dire che ora la matrice $D_X+iD_Y$ è diagonale e contiene solo fasi, ovvero $r_i=1$ per ogni $i$. Perciò proseguendo come nel caso precedente, troviamo $D_R = 1$ e quindi $A = U^T U$ con $U=D_{\theta/2} W$.
Notiamo inoltre che sulla diagonale di $D_R$ abbiamo nient’altro che i valori singolari di $A$. Infatti, poiché $A = U^T D U$, allora come abbiamo visto prima $A^\dagger A = U^\dagger D^2 U$. Perciò i valori reali non-negativi sulla diagonale di $D$ altro non sono se non le radici quadrate degli autovalori di $A^\dagger A$; cioè appunto i valori singolari di $A$.