La datazione radiometrica è una tecnica molto importante che permette di stabilire con grande precisione l’età di oggetti estremamente antichi. In questo articolo vediamo l’idea fondamentale di come funziona in alcuni casi specifici.
Caso generico
Per spiegare come funziona, supponiamo di avere un materiale che contenga una certa specie chimica $X$ radioattiva. Poiché è radioattiva, avrà un decadimento $X \to Y$ dove $Y$ è un altro elemento o un altro isotopo. Utilizziamo anche $X(t)$ per indicare la quantità di $X$ al momento $t$. Allora se $X$ ha costante di decadimento $\lambda_X$, abbiamo
$$X(t) = X(0) e^{-\lambda_X t}$$
Per semplicità supponiamo che il decadimento $X\to Y$ sia esclusivo (ovvero è l’unico canale di decadimento, o quantomeno gli altri siano ignorabili). Allora abbiamo:
$$X(t) + Y(t) = X(0) + Y(0)$$
Ciò è chiaramente una semplificazione, ma è un’approssimazione accettabile in molti casi di utilità pratica. Sostituendo nell’equazione otteniamo
$$Y(t) = Y(0) + (e^{\lambda_X t} -1) X(t)$$
dove $X(t)$ e $Y(t)$, così come $\lambda_X$, sono misurabili in laboratorio, mentre invece $Y(0)$ deve essere dedotto tramite metodi alternativi. Possiamo quindi dedurre $t$ invertendo l’equazione:
$$t = \frac{1}{\lambda_X} \log{\pqty{1+ \frac{Y(t)-Y(0)}{X(t)}}}$$
Per controllare la validità della misurazione si possono considerare diverse coppie di elementi e controllare che diano la stessa $t$. Notiamo inoltre che diverse catene di decadimento permettono una datazione di periodi diversi. Ad esempio se il decadimento è troppo rapido ($\lambda_X$ grande) allora ci sarà troppo poco elemento $X$, e sarà quindi difficile misurarne la quantità. Al contrario se il decadimento è troppo lento, allora $Y$ sarà troppo piccolo e quindi non misurabile. Ciò chiaramente dipende anche da $t$: e quindi diversi elementi saranno utili a diversi scopi.
Radiometria uranio-piombo
Un caso concreto a cui si può applicare questo ragionamento è lo zircone, ovvero una roccia di composizione chimica $\mathrm{Zr} \mathrm{Si} \mathrm{O}_4$. In questo caso possiamo utilizzare il decadimento uranio ($X$) a piombo ($Y$) per datare la roccia. Infatti, per motivi chimici alla sua formazione lo zircone espelle tutto il piombo che potrebbe contenere e quindi non contiene piombo inizialmente (ovvero $Y(0)=0$). Tuttavia contiene di solito delle impurità di uranio in quantità variabile non nota, ma d’altronde l’equazione sopra non richiede la conoscenza di $X(0)$. In pratica, ci sono due decadimenti rilevanti,
\begin{align*}
{}^{238} \mathrm{U} &\to {}^{206} \mathrm{Pb}\\
{}^{235} \mathrm{U} &\to {}^{207} \mathrm{Pb}
\end{align*}
che hanno rispettivamente un’emivita $t_{1/2}$ pari a circa $4.47$ miliardi di anni e $710$ milioni di anni rispettivamente. L’emivita è collegato alla costante di decadimento dalla relazione $\lambda = \log 2 / t_{1/2}$ dove il logaritmo è naturale. Applicando l’equazione ai due casi otteniamo:
\begin{align}
\frac{{}^{206} \mathrm{Pb}}{{}^{238} \mathrm{U}} &=e^{t \lambda_{238}}-1 \\
\frac{{}^{207} \mathrm{Pb}}{{}^{235} \mathrm{U}} &=e^{t \lambda_{235}}-1
\end{align}
Possiamo quindi calcolare i due tempi e se sono concordi, allora abbiamo trovato l’età della roccia. In generale non è detto che ciò avvenga: ciò spesso avviene perché la roccia può avere perdite o aggiunte di materiale che inficiano il calcolo. In ogni caso questa situazione può essere considerata in maniera appropriata e considereremo questo caso in un articolo futuro.
Radiometria al carbonio
Un altro caso simile è la famosa datazione al carbonio 14, che si usa per il materiale organico. Il decadimento rilevante ${}^{14} \mathrm{C} \to {}^{12} \mathrm{C}$ con emivita di circa $5700$ anni. La concentrazione dell’isotopo ${}^{14} \mathrm{C}$ rimane circa costante nell’atmosfera dove è prodotto dall’interazione con la radiazione solare; viene quindi assorbito dalle piante tramite fotosintesi e quindi dagli animali che consumano le piante (o altri animali). Dal punto di vista chimico, i due isotopi sono identici e quindi vengono assorbiti nella stessa proporzione presente in atmosfera.
Una volta morto, la pianta o l’animale non assorbe più carbonio dall’atmosfera; però il carbonio $14$ continua a decadere (mentre il carbonio $12$ è stabile e quindi rimane costante). Questo caso è leggermente diverso dal precedente, perché in linea di massima conosciamo la concentrazione iniziale del carbonio $14$ (o meglio, ne conosciamo l’abbondanza relativa rispetto al carbonio $12$). Perciò usando la legge di decadimento otteniamo l’età del campione:
$$ t = -\frac{1}{\lambda} \log{\pqty{\frac{{}^{14} \mathrm{C}(t) / {}^{12} \mathrm{C} }{ {}^{14} \mathrm{C}(0) / {}^{12} \mathrm{C} }}}$$
Anche con questo metodo bisogna fare attenzione alle ipotesi che lo sostengono. Ad esempio, l’ipotesi che il carbonio 14 sia costante nell’atmosfera è approssimativamente vera, ma non esattamente: perciò bisogna correggere per questo effetto. Molte altre cose vanno considerate: ad esempio la concentrazione di carbonio nell’oceano non è la stessa che nell’atmosfera, e quindi piante ed animali marini potrebbero avere diverse concentrazioni; così come animali terrestri che mangiano animali e piante marini. Tutte queste sono considerazioni importanti per datare con precisione un campione.
Notiamo inoltre che l’emivita del decadimento del carbonio $14$ permette di misurare età comprese tra $1000$ e i $10000$ anni (ciò va confrontato con l’emivita del decadimento dell’uranio di circa $1$ miliardo di anni).
L’età della Terra
Una delle applicazioni più importanti della radiometria è nel calcolo dell’età della Terra. Abbiamo già visto in un precedente articolo un modello semplicistico di questo calcolo che non tiene conto della radioattività.
Immaginando che la Terra si sia solidificata in un certo momento nel passato e che fosse soggetta a collisioni con meteoriti molto frequentemente, una buona approssimazione per l’età della Terra (o quantomeno per il tempo passato dalla solidificazione) è circa l’età del meteorite più antico mai ritrovato sulla Terra. Ciò porta ad una datazione di circa 4.5 miliardi di anni, che può essere effettuata tramite la datazione uranio-piombo sugli zirconi che abbiamo visto nel caso precedente, oppure tramite lo stesso decadimento su altri tipi di rocce (che però sono più complicate perché richiedono una stima iniziale dell’abbondanza di piombo).
Chiaramente strettamente parlando con questo metodo stiamo determinando l’età del meteorite dalla sua formazione. Mentre al contrario ci interessa l’età della Terra: il meteorite avrebbe potuto viaggiare nel sistema solare molto a lungo prima di colpire la Terra. Tuttavia, ciò non sembra essere avvenuto in pratica: ovvero a quanto ne sappiamo sia la Terra sia i meteoriti si sono formati circa allo stesso tempo; coerentemente con ciò, si ritrovano diversi meteoriti di circa 4.5 miliardi di anni, ma non di più; inoltre le rocce più antiche sulla Terra (difficili da trovare a causa del movimento tettonico che rimescola tutto) hanno anch’esse un’età di 4.4-4.5 miliardi di anni.
In base ai diversi materiali databili e alla nostra conoscenza sulla formazione dei materiali e sulla loro evoluzione, sono state sviluppate diverse tecniche di datazione basate su diverse coppie di elementi; ad esempio c’è il decadimento rubidio-stronzio ${}^{87} \mathrm{Rb} \to {}^{87} \mathrm{Sr}$ per le rocce magmatiche, e molti altri che vengono costantemente studiati e migliorati.