Archivi categoria: integrali

In questo articolo dimostriamo la seguente disuguaglianza, valida per $n,m$ interi positivi: $$\int_0^1 x^n (1-x)^m \, dx =\sum_{q=0}^m {m \choose q} \frac{(-1)^q}{n+q+1}  = \frac{m! n!}{(n+m+1)!} $$ Poiché i termini a destra e sinistra sono simmetrici rispetto a $n \leftrightarrow m$ … Continua a leggere→

In questo articolo vediamo come calcolare, in due modi diversi, un certo integrale sul gruppo $\U(N)$ delle matrici unitarie $N \times N$. Seguiamo Köstenberger, Weingarten Calculus. Consideriamo l’integrale $$\int_{\U(N)} \abs{U_{11}}^2 \,dU$$ dove $dU$ è la misura di Haar e $U_{11}$ … Continua a leggere→

Abbiamo visto la formula di Eulero-Maclaurin, che mette in relazione la sommatoria di una funziona con il suo integrale. In questo articolo vediamo invece una disuguaglianza che mette in relazione di nuovo la sommatoria e l’integrale di una funzione sull’intera … Continua a leggere→

Abbiamo visto alcuni semplici metodi per generare integrali difficili e anche un teorema utile per risolvere alcuni integrali. Oggi vediamo un altro sorprendente teorema per gli integrali definiti, il teorema di Frullani. L’affermazione è la seguente: $$\boxed{\int_0^\infty \frac{f(ax)-f(bx)}{x}dx = (f(\infty)-f(0))\log{\frac{a}{b}}}$$ … Continua a leggere→

Il teorema di Glasser è una strana identità che permette di calcolare alcuni integrali, tra cui alcuni di interesse fisico. Nella sua forma piu nota afferma che: $$\int_{-\infty}^{+\infty} f\pqty{x-\frac1x}dx =\int_{-\infty}^{+\infty} f\pqty{x} dx$$ Laddove vi siano delle singolarità, l’integrale va interpretato … Continua a leggere→