Esempio concreto di rappresentazioni proiettive del gruppo U(1)

Il gruppo $\U(1)$ è il gruppo di Lie abeliano monodimensionale composto dai numeri complessi $z \in \C$ tale che $\abs{z}=1$. Come varietà, è il cerchio $S^1$. In termini di coordinate, può essere parametrizzato da una variable $\theta \in (0, 2\pi)$ che copre tutto $S^1$ meno un punto: per coprirlo interamente, servono due carte. In termini di coordinate, $z=e^{i\theta}$.

Poiché $\U(1)$ è abeliano, tutte le sue rappresentazioni sono mono-dimensionali. In particolare, sono date dalla formula $f_n(z) = z^n = e^{i n \theta}$, che ha la corretta periodicità. Tuttavia esistono anche delle altre rappresentazioni dette proiettive, che abbiamo già visto in un articolo precedente. In particolare, una rappresentazione proiettiva $U$ di un gruppo $G$ soddisfa la legge di composizione solo a meno di una fase, ovvero

$$U(g) U(h) = e^{i\alpha(g,h)}U(gh)$$

per ogni $g,h \in G$. Talvolta la fase $\alpha$ è banale: ovvero può essere scritta come $e^{i\alpha(g,h)} = e^{i \omega(gh)}e^{-i \omega(g)}e^{-i \omega(h)}$ per una qualche funzione $\omega$. Allora possiamo ridefinire $U \to e^{i\omega} U$ e la fase $\alpha$ sparisce. Altrimenti la rappresentazione è genuinamente proiettiva e non c’è niente che possiamo fare.

Le rappresentazioni proiettive di $\U(1)$ sono tutte date dalla formula 

$$f_{n+\lambda}(\theta) = e^{i (n+\lambda) \theta}$$

dove $n \in \Z$ e $\lambda \in (0,1)$. Notiamo che abbiamo scritto $f$ come funzione di $\theta$, piuttosto che come funzione di $z = e^{i\theta}$. In termini di $z$, la funzione sarebbe $z \to z^{n+\lambda}$. Mentre la funzione $z \to z^n$ per $n$ intero è ben-definita nel piano complesso, la funzione $z \to z^{n+\lambda}$ non lo è perché l’esponente non è intero. Questa è la solita storia in analisi complessa: o la funzione non è ben definita, cioè per ogni $z$ può avere più di un valore, oppure non è continua. Infatti abbiamo 

$$\lim_{\theta \to 0} e^{i (n+\lambda) \theta} = 1\\
\lim_{\theta \to 2\pi} e^{i (n+\lambda) \theta} = e^{2\pi i \lambda} \neq 1$$

Perciò o accettiamo che allo stesso punto (cioè $z=1$) assegniamo più di un valore (cioè infiniti valori) oppure accettiamo che la funzione è discontinua nel punto $z=1$. Questo punto non è speciale, ma dipende dalla scelta di carta che abbiamo fatto (è esattamente il punto escluso dalla carta) e corrisponde ad una certa scelta di taglio nel piano complesso per definire questa funzione. 

In particolare le funzioni $f_{n+\lambda}$ sono rappresentazioni proiettive di $\U(1)$. Consideriamo un esempio concreto, tanto per capire, ovvero $n=0$ e $\lambda=1/2$. La funzione $f_{1/2}$ altro non è se non la radice quadrata $z \to \sqrt{z}$ e ben sappiamo che il segno della radice quadrata non è ben definito. Consideriamo l’esempio concreto in cui abbiamo $z_1=z_2=e^{i\pi/2}=i$. Allora sappiamo che $z_1 z_2 =  e^{i\pi}=-1$. Vogliamo perciò calcolare $f_{1/2}(e^{i\pi})$. A tale scopo dobbiamo prima estrarre $\theta$. Dall’equazione $e^{i\theta} = e^{i\pi}$ sappiamo che $\theta = \pi + 2\pi k$ per $k \in \Z$. Perciò sostituendo abbiamo

$$f_{1/2}(z_1 z_2) = f_{1/2}(e^{i\pi}) = e^{i \frac12 (\pi + 2\pi k)} = (-1)^k i$$

E quindi il risultato dipende da quale $k$ scegliamo. Ciò non può essere vero se $f_{1/2}$ è veramente una rappresentazione del gruppo $\U(1)$, perché in $\U(1)$ i due punti sono lo stesso punto. Al contrario, se ci interessasse una rappresentazione del gruppo $\R$, allora i punti $\pi$ e $\pi+2\pi k$ sono distinti e quindi questa rappresentazione sarebbe ammissibile. Ciò non è un caso: infatti $\R$ è il rivestimento universale di $\U(1)$, e, come abbiamo visto in un precedente articolo, sotto certe condizioni le rappresentazioni proiettive di un gruppo possono essere sollevate a rappresentazioni ordinarie del suo rivestimento universale.

Questo problema è esattamente il fenomeno che abbiamo visto poco fa: la funzione non è ben definita. Possiamo rimediare a questo problema nella maniera “ovvia”, ovvero scegliendo una carta: dichiariamo che $\theta \in (0,2\pi)$ e quindi in questo caso siamo costretti a prendere $k=0$. Perciò abbiamo risolto l’ambiguità e abbiamo $f_{1/2}(z_1 z_2) = i$. Con la stessa prescrizione calcoliamo inoltre

$$f_{1/2}(z_1) = f_{1/2}(z_2) = f_{1/2}(e^{i\pi/2}) = e^{i \pi/4}$$

In questo caso perciò abbiamo

$$f_{1/2}(z_1 z_2) = e^{i \pi/2} = f_{1/2}(z_1) f_{1/2}(z_2) $$

E perciò per questi valori almeno la rappresentazione $f_{1/2}$ non ha niente di speciale. Tuttavia consideriamo ad esempio il caso in cui $z_1 = z_2 = e^{i 3\pi/2}$. Allora di nuovo con la stessa prescrizione abbiamo

$$f_{1/2}(z_1) = f_{1/2}(z_2) = f_{1/2}(e^{i3\pi/2}) = e^{i3\pi/4}$$

Abbiamo inoltre $z_1 z_2 = e^{i 3\pi} = e^{i\pi}$. Perciò con la stessa prescrizione in cui $\theta \in (0,2\pi)$ abbiamo

$$f_{1/2}(z_1 z_2) = f_{1/2}(e^{i\pi}) = e^{i\pi/2} $$

Ovvero in questo caso $f_{1/2}(z_1 z_2) \neq f_{1/2}(z_1) f_{1/2}(z_2)$, al contrario abbiamo

$$f_{1/2}(z_1) f_{1/2}(z_2) = e^{i\pi} f_{1/2}(z_1 z_2)$$

E quindi per questi valori la rappresentazione è proiettiva, cioè abbiamo delle fasi ulteriori. 

In generale, per la rappresentazione $f_{n+\lambda}$ abbiamo

$$f_{n+\lambda}(e^{i\theta_1}) f_{n+\lambda}(e^{i \theta_2}) = e^{i\alpha(\theta_1, \theta_2)} f_{n+\lambda}(e^{i(\theta_1+\theta_2)})$$

dove gli argomenti nell’esponente sono sempre presi in $(0, 2\pi)$, quindi a sinistra $\theta_1, \theta_2 \in (0,2\pi)$ ma anche a destra $\theta_1+\theta_2 \in (0,2\pi)$. La fase è data da 

$$e^{i\alpha(\theta_1, \theta_2)} = \begin{cases} e^{2\pi i \lambda} & \theta_1 + \theta_2 \geq 2\pi \\ 1 & \mathrm{altrimenti} \end{cases}$$

In particolare, notiamo che poiché $\theta_1, \theta_2 \in (0,2\pi)$ allora $\theta_1 + \theta_2 \in (0, 4\pi)$. Questa rappresentazione proiettiva è necessariamente non banale. Infatti supponiamo che la fase possa essere scritta come $e^{i\alpha(g,h)} = e^{i \omega(gh)}e^{-i \omega(g)}e^{-i \omega(h)}$ per una qualche funzione $\omega$, in modo tale da poter ridefinire $f \to e^{i\omega} f$. Poiché $\omega$ entra a far parte della rappresentazione conosce per definizione soltanto il valore della fase $z=e^{i\theta}$ per $\theta \in (0,2\pi)$. Anche il valore di $\theta_1+\theta_2$ fornito a $\omega$ è modulo $2\pi$. Perciò non c’è nessuna maniera di sapere se $\theta_1 + \theta_2 \geq 2\pi$ senza conoscere entrambi $\theta_1$ e $\theta_2$ separatamente. Perciò non può esistere nessuna $\omega$ che soddisfi la condizione richiesta.