Dato un gruppo $G$, è molto utile costruirne una rappresentazione esplicita in termini di matrici. La teoria delle rappresentazioni tratta esattamente questo problema. In questo articolo trattiamo il seguente problema: ovvero come si comporta una rappresentazione rispetto alla coniugazione complessa.
Per i gruppi finiti e i gruppi di Lie compatti, le rappresentazioni irriducibili possono essere prese unitarie, e quindi soddisfano $\rho(g^{-1})=\rho(g)^{-1}=\rho(g)^\dagger$. Al contrario, non esiste un comportamento ovvio rispetto alla coniugazione complessa: ovvero non è chiaro che cosa debba essere $\rho(g)^*$ (dove intendiamo che prendiamo il complesso coniugato di ogni elemento di $\rho(g)$). Per l’unitarietà sappiamo che $\rho(g)^* = \rho(g^{-1})^T$, ma non è una caratterizzazione poi così utile.
Per dirimere ulteriormente la questione, ci aiutano i caratteri delle rappresentazioni. Se $\rho$ ha carattere $\chi$, allora $\rho^*$ ha carattere $\chi^*$. Abbiamo quindi il seguente risultato:
Proposizione. $\rho$ è irriducibile se e solo se $\rho^*$ è irriducibile.
Dimostrazione. L’irriducibilità può essere dedotta dal carattere $\chi$ della rappresentazione, ovvero è equivalente al fatto che $\expval{\chi, \chi}=1$ dove
$$\expval{\psi,\phi} = \frac{1}{\abs{G}} \sum_{g \in G} \psi(g)^* \phi(g)$$
Questo è nient’altro che uno dei teoremi di ortogonalità dei caratteri. L’irriducibilità di $\rho$ è perciò equivalente al fatto che $\expval{\chi, \chi}=1$, e prendendo il complesso coniugato abbiamo quindi $\expval{\chi^*, \chi^*}=1$ e quindi anche $\rho^*$ è irriducibile. Invertendo i passaggi otteniamo il “se e solo se”. $\square$
Chiaramente, le due rappresentazioni hanno anche la stessa dimensione. In generale, diciamo che due rappresentazioni $\rho_1$ e $\rho_2$ sono equivalenti se esiste una matrice $S$ tale che $\rho_2 = S \rho_1 S^{-1}$, che corrisponde nient’altro se non ad un cambio di base. In particolare il cambio di base lascia invariato il carattere. Ora abbiamo quindi due possibilità:
- $\rho$ e $\rho^*$ (irriducibili) sono rappresentazioni equivalenti, ovvero hanno lo stesso carattere.
- $\rho$ e $\rho^*$ (irriducibili) sono rappresentazioni inequivalenti.
Quale delle due condizioni sia verificata può essere facilmente deciso utilizzando la teoria dei caratteri. Infatti abbiamo nei due casi:
- Se sono equivalenti, avranno lo stesso carattere. Quindi in particolare $\chi(g)=\chi(g)^*$, che è quindi reale. Poiché è irriducibile, abbiamo quindi $\expval{\chi^*, \chi} = \frac{1}{\abs{G}} \sum_{g \in G} \chi(g)^2=1$.
- Se invece sono inequivalenti, allora devono avere un carattere diverso, ovvero $\chi(g) \neq \chi(g)^*$, che quindi è complesso. Poiché sono irriducibili, abbiamo quindi $\expval{\chi^*, \chi} = \frac{1}{\abs{G}} \sum_{g \in G} \chi(g)^2=0$.
Dato che queste sono le uniche due opzioni, calcolando i due numeri e vedendo se sono zero o uno possiamo stabilire se una rappresentazione è equivalente o meno alla sua duale.
Tuttavia, la classificazione non termina qui. Infatti tra le rappresentazioni che sono equivalenti al loro duale (cioè il primo caso), ce ne sono alcune che possono essere scelte interamente reali (ovvero esiste una base in cui la matrice è reale), altre per cui invece non esiste nessuna base in cui gli elementi della matrice siano tutti reali. Vediamo di capire questa differenza in maniera costruttiva. Partiamo dalla proposizione seguente:
Proposizione. Supponiamo che $\rho$ e $\rho^*$ siano equivalenti, ovvero $\rho^* = S \rho S^{-1}$ per una qualche $S$. Allora $S$ è una matrice simmetrica, oppure antisimmetrica.
Dimostrazione. Vogliamo dimostrare che $S^T = \pm S$, anche se $S$ non è necessariamente una matrice reale. La dimostrazione praticamente è una serie di giochetti con la relazione fondamentale che definisce $S$. È importante notare che la relazione è valida per ogni $g \in G$ con la stessa $S$. Abbiamo (invertendo)
$$\rho(g) = S^{-1} \rho(g)^* S$$
Sappiamo anche che poiché $\rho$ è unitaria, allora $\rho(g)^* = \rho(g^{-1})^T$. Applicando la relazione a $\rho(g^{-1})$ abbiamo quindi
$$\rho(g^{-1}) = S^{-1} \rho(g^{-1})^* S = S^{-1} \rho(g)^T S$$
e quindi sostituendo nella relazione originale abbiamo
$$\rho(g) = S^{-1} \rho(g^{-1})^T S = S^{-1} \bqty{ S^{-1} \rho(g)^T S }^T S = (S^{-1} S^T) \rho(g) (S^{-1})^T S $$
Ma notiamo anche che $(S^{-1})^T S = (S^{-1} S^T)^{-1}$ e quindi la relazione sopra può essere scritta come
$$\rho(g) (S^{-1} S^T) = (S^{-1} S^T) \rho(g) $$
Perciò la matrice $S^{-1} S^T$ commuta con la rappresentazione irriducibile $\rho$ e quindi per il lemma di Schur è proporzionale all’identità, ovvero $S^{-1} S^T = \lambda \eye$, cioè $S^T = \lambda S$. Applicando di nuovo questa relazione otteniamo
$$S = (S^T)^T = \lambda S^T = \lambda^2 S$$
e quindi $\lambda = \pm 1$, il che implica appunto che $S^T = \pm S$, ovvero $S$ è simmetrica oppure antisimmetrica. $\square$
Dato che ci siamo possiamo anche dimostrare il risultato seguente, che caratterizza ulteriormente $S$:
Proposizione. Supponiamo che $\rho$ e $\rho^*$ siano equivalenti, ovvero $\rho^* = S \rho S^{-1}$ per una qualche $S$. Allora $S$ può sempre essere scelta unitaria.
Dimostrazione. La dimostrazione di questo fatto segue praticamente la stessa linea del fatto precedente. Utilizzando la relazione di sopra e l’unitarietà di $\rho$, abbiamo
$$S = \rho(g)^* S \rho(g)^\dagger$$
Perciò abbiamo
$$S^\dagger S = \rho(g) S^\dagger (\rho(g)^*)^\dagger \rho(g)^* S \rho(g)^\dagger = \rho(g) S^\dagger S \rho(g)^\dagger$$
ovvero $S^\dagger S \rho(g) = \rho(g) S^\dagger S$, cioè $S^\dagger S$ commuta con una rappresentazione irriducibile e quindi per il lemma di Schur, la matrice $S^\dagger S$ è proporzionale all’identità, ovvero $S^\dagger S= \mu \eye$. Poiché il membro sinistro è invariante rispetto alla $\dagger$, anche il membro destro dev’esserlo, il che implica che $\mu$ è reale. Ora notiamo che nella definizione di $S$ compare sia $S$ che $S^{-1}$, quindi siamo liberi di ridefinire $S \to \kappa S$ per un $\kappa \in \C$ arbitrario. Notiamo inoltre che una tale definizione non tocca la simmetria/antisimmetria di $S$. Poiché $\mu$ è reale, possiamo quindi ridefinire $S$ in modo tale da rimuoverlo, avendo così $S^\dagger S=\eye$, cioè $S$ è unitaria. $\square$
Ora questa distinzione tra $S$ simmetrica e antisimmetrica è precisamente ciò di cui avevamo bisogno per capire se $\rho$ avrà elementi strettamente reali o no.
Proposizione. Una rappresentazione irriducibile $\rho$ (equivalente a $\rho^*$) è equivalente ad una rappresentazione con matrici reali se e solo se $S$ è simmetrica.
Dimostrazione. Ciò vuol dire in pratica che esiste una matrice $R$ che cambia la base di $\rho$ in maniera che la matrice trasformata, $R \rho(g) R^{-1}$ è sempre reale, ovvero
$$(R \rho(g) R^{-1})^* = R \rho(g) R^{-1} $$
Sostituendo $\rho(g)^*$ la condizione è
$$R^* S \rho(g) S^{-1} (R^*)^{-1} = R \rho(g) R^{-1} $$
E quindi spostando tutto da un lato otteniamo
$$\rho(g) = (R^{-1} R^* S)^{-1} \rho(g) (R^{-1} R^* S)$$
E quindi di nuovo per il lemma di Schur quest’ultima condizione è equivalente (se e solo se) a $R^{-1} R^* S = \sigma \eye$ per un qualche $\sigma$. Spostando $R$ dall’altra parte, abbiamo $R^* S = \sigma R$. Prendendo la $\dagger$ abbiamo quindi $S^\dagger R^T = \sigma^* R^\dagger$. Prendendo invece la trasposta abbiamo $S^T R^\dagger = \sigma R^T$. Possiamo quindi ricavare $R^\dagger$ dalla prima equazione e sostituirla nella seconda, ottenendo (dopo aver semplificato $R^T$ e utilizzato l’unitarietà di $S$),
$$S^T = \abs{\sigma}^2 S$$
Questa relazione è impossibile da soddisfare nel caso in cui $S$ sia antisimmetrica; per cui se $S$ non è simmetrica, allora $R$ non esiste. Ciò dimostra il solo se. La dimostrazione non è completa tuttavia, perché manca l’altra direzione, ovvero che se $S$ è simmetrica allora effettivamente $R$ esiste (in particolare basterebbe dimostrare che $\abs{\sigma}=1$, ma non è chiaro come riscalare le quantità sopra per eliminarla).
Per l’altra direzione, diamo una dimostrazione costruttiva. Poiché $S$ è unitaria (o può essere scelta tale), allora può essere scritta come $S=e^{iX}$ dove $X$ è complessa hermitiana. Inoltre poiché $S$ è simmetrica, dobbiamo avere $X^T = X$ e quindi poiché $X$ è hermitiana, è anche reale. Perciò definendo $R = e^{i X/2}$ abbiamo $R^* = R^{-1} = e^{-i X/2}$ e quindi $(R^*)^{-1} = R$. Perciò $S = R (R^*)^{-1}$, che è esattamente la stessa condizione sopra con $\sigma = 1$, e quindi $R$ trasforma $\rho$ in una matrice reale. Ciò conclude la dimostrazione. $\square$
A volte la distinzione tra $S$ simmetrica e antisimmetrica viene anche formulata nella maniera seguente: ovvero definiamo la forma bilineare $\expval{x,y} \equiv x^T S y$ per $x,y \in V_\rho$ (lo spazio di rappresentazione di $\rho)$ che nei due casi è simmetrica e antisimmetrica rispettivamente. Abbiamo la seguente proposizione:
Proposizione. $\expval{x,y}$ è invariante rispetto a $\rho$ se e solo se $\rho$ e $\rho^*$ sono equivalenti.
Dimostrazione. La condizione di equivalenza vuol dire che $\expval{\rho(g) x, \rho(g) y} = \expval{x,y}$. Sostituendo, ciò vuol dire che
$$x^T \rho(g)^T S \rho(g) y = x^T S y$$
Poiché ciò deve valere per ogni $x,y$ abbiamo equivalentemente $ \rho(g)^T S \rho(g) = S $. Ma spostando i termini e utilizzando l’unitarietà di $\rho(g)$ abbiamo equivalentemente $\rho(g)^* = S \rho(g) S^{-1}$, cioè le due rappresentazioni sono equivalenti. Poiché tutti i passaggi sono invertibili, abbiamo il se e solo se. $\square$
C’è chi preferisce definire le rappresentazioni utilizzando le forme bilineari, anche se a me sembra abbastanza sgradevole. Per concludere listiamo tutte le possibilità e i corrispondenti nomi:
- Se le irriducibili $\rho$ e $\rho^*$ sono equivalenti ed esiste una base in cui $\rho$ ha elementi reali, allora la rappresentazione è detta reale. Questa condizione è equivalente all’affermazione che la matrice $S$ tale che $\rho^* = S \rho S^{-1}$ è simmetrica. Equivalentemente esiste sullo spazio di rappresentazione $V_\rho$ di $\rho$ una forma bilineare simmetrica data da $x^T S y$, invariante rispetto a $\rho$, dove $x, y \in V_\rho$ sono vettori.
- Se le irriducibili $\rho$ e $\rho^*$ sono equivalenti, ma non esiste nessuna base in cui $\rho$ ha elementi reali, allora la rappresentazione è detta pseudoreale, o quaternionica. Equivalentemente, la matrice $S$ come sopra è antisimmetrica. Inoltre abbiamo una forma bilineare antisimmetrica $x^T S y$ invariante rispetto a $\rho$. Poiché $S$ dev’essere invertibile e poiché $\mathrm{det}(S)=\mathrm{det}(S^T) = (-1)^n \mathrm{det}(S)$ allora la dimensione $n$ della rappresentazione dev’essere pari. Ovvero le rappresentazioni pseudoreali esistono solo in dimensione pari.
- Se le irriducibili $\rho$ e $\rho^*$ sono inequivalenti, allora $\rho$ si dice complessa.
All’inizio dell’articolo abbiamo visto una maniera semplice per distinguere se una rappresentazione è complessa oppure no utilizzando i caratteri, ma non abbiamo trovato una maniera per distinguere le rappresentazioni reali e pseudoreali. Ciò può essere fatto tramite il cosiddetto indicatore di Frobenius-Schur,
$$FS(\rho) = \frac{1}{\abs{G}} \sum_{g \in G} \chi(g^2)$$
che è rispettivamente uguale a $-1, 0, 1$ nel caso in cui la rappresentazione sia quaternionica, complessa o reale. Poiché quest’articolo è già molto lungo, dimostriamo questo fatto in un altro articolo.