Archivi categoria: gruppi e algebre di Lie

Per classificare i gruppi di Lie connessi classifichiamo prima le relative algebre. In particolare ci occupiamo solo dei gruppi reali. Infatti i gruppi complessi possono essere visti come gruppi reali di dimensione doppia. Algebre di Lie in una dimensione In … Continua a leggere→

Nello studio di un gruppo di Lie $G$, è spesso utile considerare la sua algebra di Lie. Tuttavia sappiamo che esistono gruppi diversi (ad esempio $\SO(3)$ e $\SU(2)$) che hanno la stessa algebra di Lie, per cui l’algebra di Lie … Continua a leggere→

In modo simile al caso dei gruppi, le estensioni centrali di un’algebra di Lie sono classificate dai cocicli. In modo più preciso abbiamo in questo caso: Definizione. Un cociclo in $\frak g$ è una funzione bilineare antisimmetrica $\phi: \frak g … Continua a leggere→

La rappresentazione spin $1/2$ di $\SO(3)$ è il tipico esempio di rappresentazione spinoriale. Vediamo che succede. Per studiare le rappresentazioni del gruppo, consideriamo l’algebra di Lie $\so(3)$. Quest’algebra ha per generatori: $$F_1 = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 … Continua a leggere→

Abbiamo visto cos’è l’estensione centrale di un gruppo. Ora ci vogliamo occupare del problema di trovare tutte le estensioni centrali di un certo gruppo, ovvero dati due gruppi $A$ e $G$ e un’estensione centrale $\require{AMScd}$ \begin{CD} 1 @>>> A @>>> … Continua a leggere→