In questo articolo consideriamo, da un punto di vista perlopiù algebrico, la connessione tra l’equazione del calore e l’indice di un operatore ellittico. Non ci concentriamo sulle difficoltà di definizione di natura geometrica o analitica, che sono importanti in molti casi specifici, perché la struttura di questa argomentazione può essere estesa a molti altri casi in cui queste difficoltà non compaiono.
Consideriamo un operatore ellittico $D$, che agisce su un certo spazio di funzioni in cui abbiamo definito un prodotto interno $(\cdot, \cdot)$. Allora abbiamo un operatore aggiunto $D^\dagger$ definito da $(D\psi, \phi) = (\psi, D^\dagger \phi)$. L’indice dell’operatore $D$ è definito come
$$\mathrm{ind}(D) = \dim \ker{D} -\dim \ker{D^\dagger}$$
Avevamo trovato una formula simile nel caso della meccanica quantistica supersimmetrica. La connessione con l’equazione del calore è la seguente. Consideriamo due possibili definizioni di “quadrato” dell’operatore $D$, ovvero
\begin{align}
\Delta_L &\equiv D^\dagger D\\
\Delta_R &\equiv D D^\dagger
\end{align}
Possiamo pensare a $\Delta$ come ad una versione generalizzata del Laplaciano. Possiamo quindi considerare l’equazione agli autovalori per uno dei due operatori, diciamo $\Delta_L$:
$$\Delta_L \psi \equiv D^\dagger D \psi = \lambda \psi$$
Applicando $D$ da entrambi i lati otteniamo
$$(D D^\dagger) (D \psi) = \lambda (D\psi)$$
Perciò abbiamo due casi: se $D\psi=0$ allora $\psi \in \mathrm{ker}(D)$, e quindi $D^\dagger D \psi = 0$ e perciò $\lambda=0$. Se invece $\lambda \neq 0$ allora $D\psi \neq 0$ e quindi $D\psi$ è un autovettore di $\Delta_R = D D^\dagger$ di nuovo con autovalore $\lambda$. Lo stesso discorso vale al contrario se fossimo partiti con $\Delta_R$. Ne segue che:
- $\Delta_L$ e $\Delta_R$ hanno gli stessi autovalori non nulli con la stessa molteplicità. Gli autovettori sono collegati da $D$ (o $D^\dagger$).
- Gli autovalori nulli possono essere diversi per i due operatori, ma $\ker D = \ker{\Delta_L}$ e $\ker D^\dagger = \ker{\Delta_R}$.
Consideriamo quest’ultimo punto più attentamente. È chiaro che $\ker D \subset \ker \Delta_L$ dato che $\Delta_L = D^\dagger D$ e quindi se $D\psi=0$ abbiamo anche $\Delta_L\psi=0$. Al contrario, se $\Delta_L\psi=0$, allora
$$0=(\psi, \Delta_L\psi)=(\psi, D^\dagger D\psi)=(D\psi, D\psi)$$
e quindi $D\psi=0$. Un’argomentazione simile si applica a $D^\dagger$. Perciò l’indice può anche essere espresso come
$$\mathrm{ind}(D) = \dim \ker{\Delta_L} -\dim \ker{D_R}$$
Consideriamo quindi gli operatori evoluzione
$$U_L(t) = e^{-t \Delta_L} \qquad U_R(t) = e^{-t \Delta_R}$$
e le corrispondenti “funzioni di partizione”
$$Z_L = \tr\pqty{e^{-t \Delta_L}} \qquad Z_R = \tr\pqty{e^{-t \Delta_R}} $$
Consideriamo ad esempio $Z_L$. In termini degli autovalori $\lambda$ di $\Delta_L$ (con ripetizione) abbiamo
$$Z_L = \sum_\lambda e^{-t \lambda} = \dim\ker{\Delta_L} + \sum_{\lambda \neq 0} e^{-t \lambda}$$
Gli autovalori nulli $\lambda =0$ contano semplicemente la dimensione del kernel di $\Delta_L$. Invece gli autovalori non-nulli sono identici (con molteplicità identica) per $\Delta_L$ e $\Delta_R$. Perciò nella differenza si cancellano e abbiamo
$$\mathrm{ind}(D) = Z_L -Z_R = \tr\pqty{e^{-t \Delta_L}} – \tr\pqty{e^{-t \Delta_R}}$$
per ogni $t > 0$. Perciò abbiamo due quantità in linea di principio molto complesse, e dipendenti da $t$, ma la cui differenza è semplicemente un intero indipendente da $t$. Considerando un espansione asintotica delle quantità a destra per $t \to 0$, si ottiene una versione del teorema dell’indice di Atiyah-Singer-Patodi.
Notiamo quindi la connessione con l’equazione del calore, che può essere formulata ad esempio come
$$\pqty{\pdv{}{t} + \Delta_L} \psi = 0$$
Formalmente, la soluzione è data da
$$\psi(x,t) = e^{-t \Delta_L} \psi(x,0) = U_L(t) \psi(x,0)$$
dove $\psi(x,0)$ è una condizione iniziale. In termini più concreti, scegliendo una base $\psi_\lambda$ di autofunzioni di $\Delta_L$, possiamo espandere la soluzione come
$$\psi(x,t) = \sum_{\lambda} c_\lambda e^{-\lambda t} \psi_\lambda(x) $$
dove i coefficienti
$$c_\lambda = (\psi_\lambda, \psi_0) = \int dy \, \psi_\lambda (y)^\dagger \psi_0(y)$$
dove $\psi_0(x)=\psi(x,0)$. Ovvero sostituendo possiamo scrivere
$$\psi(x,t) =\int dy\, \sum_{\lambda} e^{-\lambda t} \psi_\lambda(x) \psi_\lambda (y)^\dagger \psi_0(y) $$
dove abbiamo spostato $c_\lambda$ alla fine, dato che è uno scalare. Quindi possiamo identificare $U_L(t)$ con l’azione del nucleo del calore, $U_L(t) \psi(x) = \int dy K_L(x,y,t) \psi(y)$ dove il nucleo del calore $K_L$ è dato da
$$K_L(x,y,t) = \sum_{\lambda} e^{-\lambda t} \psi_\lambda(x) \psi_\lambda (y)^\dagger$$
Perciò
$$Z_L(t) = \tr\pqty{K_L(x,y,t)} =\sum_{\lambda} e^{-\lambda t} \tr\pqty{\int dx\, \psi_\lambda(x) \psi_\lambda (x)^\dagger} = \sum_{\lambda} e^{-\lambda t} \dim{\lambda}$$
dove abbiamo usato l’ortonormalità delle forme differenziali e reso esplitcito il fattore moltiplicativo degli autospazi. Abbiamo anche abusato la notazione della traccia, all’inizio per denotare la traccia sugli indici interni e l’integrazione su $x$ per $y=x$ e poi solo per denotare la traccia sugli indici interni. Per cui infine abbiamo un’ultima espressione per l’indice, ovvero
$$\mathrm{ind}(D) = \tr(K) \,\,\qquad\,\, K = K_L -K_R$$