Abbiamo visto in un precedente articolo il teorema dei cinque ottavi in teoria dei gruppi. Ricapitoliamo la storia. Partiamo da un gruppo finito $G$ e definiamo
$$s(g,h) = \begin{cases} 1 & gh = hg \\ 0 & \mathrm{altrimenti} \end{cases}$$
ovvero $s(g,h)$ è uguale ad uno se $g$ ed $h$ commutano, e zero altrimenti. Allora la percentuale commutativa $p$ è la percentuale di coppie di elementi che commuta, ovvero
$$p = \frac{1}{\abs{G}^2} \sum_{g,h \in G} s(g,h)$$
Chiaramente, se $G$ è abeliano tutti gli elementi commutano e quindi $s(g,h) \equiv 1$. Perciò la percentuale commutativa sarà $p=1$. Se invece $G$ è non-abeliano allora necessariamente $p < 1$. Sorprendentemente $p$ soddisfa una disuguaglianza molto più restrittiva. Infatti il teorema dei cinque ottavi, che abbiamo visto nell’articolo precedente, afferma che se $G$ è non-abeliano, allora
$$p \leq \frac{5}{8}$$
In questo articolo ricaviamo una relazione tra la percentuale commutativa $p$ e il numero di classi di coniugazione di $G$, che chiamiamo $r(G)$. Ricordiamo che il centralizzatore di un elemento $g \in G$ è il sottogruppo degli elementi di $G$ che commutano con $g$, ovvero
$$\mathrm{Cent}(g) = \{h \in G \,\,|\,\, gh = hg \}$$
Notiamo che la condizione può anche essere riformulata dicendo che $h g h^{-1} = g$. Sappiamo anche il gruppo $G$ ha un’azione su se stesso data dalla coniugazione. Allora il centralizzatore $\mathrm{Cent}(g)$ altro non è se non lo stabilizzatore di $g$ per quest’azione; al contrario l’orbita di $g$ per coniugazione altro non è se non la sua classe di coniugazione $C(g)$. Perciò per il teorema orbita-stabilizzatore abbiamo
$$\abs{C(g)} \abs{\mathrm{Cent}(g)} = \abs{G}$$
Tornando alla $s$ iniziale, notiamo che
$$\sum_{h \in G} s(g,h) = \abs{\mathrm{Cent}(g)}$$
dato che entrambi i lati contano il numero di elementi di $G$ che commutano con $g$. Perciò sommando entrambi i lati rispetto a $g$ abbiamo da un lato
$$\sum_{g \in G}\sum_{h \in G} s(g,h) = \abs{G}^2 p $$
Dall’altro invece
$$\sum_{g \in G} \abs{\mathrm{Cent}(g)} = \abs{G} \sum_{g \in G} \frac{1}{\abs{C(g)}} = \abs{G} \sum_C \sum_{g \in C} \frac{1}{\abs{C(g)}} = \abs{G} \sum_C = \abs{G} r(G)$$
Nella prima uguaglianza abbiamo usato il risultato del teorema orbita-stabilizzatore, nella seconda il fatto che le classi di coniugazione partizionano $G$ (e quindi invece di sommare su $G$ possiamo sommare sulle classi di coniugazione, e poi sugli elementi dentro le classi). Perciò abbiamo trovato anche un’altra formula per la percentuale commutativa, ovvero
$$p = \frac{r(G)}{\abs{G}}$$
che è una caratterizzazione estremamente semplice. In particolare il teorema dei cinque ottavi ci dà quindi un risultato non banale sul numero di classi laterali di un gruppo non-abeliano, ovvero
$$r(G) \leq \frac58 \abs{G}$$
Come vedremo in un prossimo articolo, avremmo potuto ottenere lo stesso risultato tramite il lemma di Burnside.