In questo articolo dimostriamo il famoso teorema della palla pelosa, basandoci sul concetto di grado topologico che abbiamo introdotto in un articolo precedente:
Teorema. La sfera $S^n$ ammette un campo vettoriale senza zeri se e solo se $n$ è dispari.
Dimostrazione. Prima di tutto dimostriamo una direzione: ovvero che se $n$ è dispari, allora abbiamo un campo vettoriale senza zeri. Per $n=2k-1$ la sfera $S^{2k-1}$ è immersa nello spazio $\R^{2k}$ che descriviamo con le coordinate $(x_1, y_1, x_2, y_2, \ldots, x_k, y_k)$. In particolare i punti su $S^{2k-1}$ soddisfano
$$\sum_{i=1}^k x_i^2 + \sum_{i=1}^k y_i^2=1$$
Allora possiamo costruire esplicitamente un campo vettoriale dappertutto non-nullo, che è dato da
$$\vec{v}(x_1, y_1, x_2, y_2, \ldots, x_k, y_k) = (y_1, -x_1, y_2, -x_2, \ldots, y_k, -x_k) $$
Questo campo vettoriale è palesemente non-nullo dato che per la definizione della sfera $\norm{\vec{v}} = 1$. Perché sia un campo vettoriale sulla sfera deve essere tangente alla sfera in ogni punto. Ma la normale alla sfera è proporzionale a
$$\vec{x}(x_1, y_1, x_2, y_2, \ldots, x_k, y_k) = (x_1, y_1, x_2, y_2, \ldots, x_k, y_k)$$
In particolare la normale vera e propria è $\vec{n} = \vec{x} / \norm{\vec{x}}$. Ed è facile verificare che
$$\vec{v} \cdot \vec{x} = \sum_{i=1}^k (y_i x_i -x_i y_i)=0$$
e quindi $\vec{v}$ è tangente alla sfera.
Per l’altra direzione, supponiamo che $\vec{v}$ sia un campo vettoriale su $S^n$ senza zeri. Allora $\norm{\vec{v}} \neq 0$ dappertutto e quindi possiamo definire
$$\vec{w} \equiv \frac{\vec{v}}{\norm{\vec{v}} } : S^n \to S^n$$
A questo punto utilizziamo la mappa antipodale $a: S^n \to S^n$ definita da
$$\vec{a}(\vec{x}) =-\vec{x}$$
dove $\vec{x} \in \R^{n+1}$. La mappa antipodale è quindi una composizione di $n+1$ riflessioni, ognuna delle quali ha grado topologico $-1$. Perciò
$$\mathrm{gra}(a) = (-1)^{n+1}$$
Utilizzando $w$ siamo in grado di dimostrare che la mappa antipodale è omotopica all’identità, come vedremo tra un secondo. L’identità ha palesemente grado uguale ad $1$ e mappe omotopiche hanno lo stesso grado. Ciò dimostra quindi che $ (-1)^{n+1}=1$ ovvero $n$ è dispari.
Resta da dimostrare l’omotopia. A tale scopo definiamo $H: [0, \pi] \times S^n \to S^n$, definita ponendo
$$H(t, \vec{x}) = \cos(t) \vec{x} + \sin(t) \vec{w}(\vec{x})$$
Chiaramente $H(0, \vec{x})$ è l’identità, mentre $H(\pi, \vec{x})=a(\vec{x})$. $H$ è palesemente continua, perciò resta da verificare che il codominio di $H$ è effettivamente la sfera. Abbiamo
$$\norm{H(t, \vec{x})}^2 = (\cos(t))^2 \underbrace{\norm{\vec{x}}^2}_{=1} + 2\cos(t) \sin(t) \underbrace{\vec{x} \cdot \vec{w}}_{=0} + (\sin(t))^2 \underbrace{\norm{w}^2 }_{=1} = (\cos(t))^2 + (\sin(t))^2 = 1$$
e quindi $H(t, \vec{x}) \in S^n$, il che conclude la dimostrazione. $\square$