Il grado topologico è un invariante topologico per mappe continue tra sfere della forma $S^n \to S^n$ che torna utile in molti casi.
Una delle particolarità della sfera $S^n$ è che uno dei suoi gruppi di omotopia è $\pi_n(S^n) \cong \Z$. Inoltre tutti i gruppi di omotopia $\pi_k(S^n)$ per $k < n$ sono banali, mentre sorprendentemente ciò non è vero per $k > n$ (come dimostra il fibrato di Hopf). In particolare anche il corrispondente gruppo di omologia è identico, ovvero $H_n(S^n) \cong \pi_n(S^n) \cong \Z$. Ciò vuol dire che le mappe $f: S^n \to S^n$ sono caratterizzate da un numero intero (la loro classe di omologia/omotopia), che per definizione è il loro grado:
Definizione. Il grado topologico $\mathrm{gra}(f)$ di una mappa continua $f: S^n \to S^n$ è l’intero $\in H_n(S^n) \cong \pi_n(S^n) \cong \Z$ che caratterizza la classe di omologia/omotopia di $f$.
Segue immediatamente dalla definizione il seguente risultato:
Teorema. Mappe omotopiche hanno grado identico.
Concretamente, una mappa $f: S^n \to S^n$ induce un omomorfismo tra spazi vettoriali
$$f_* : H_n(S^n) \to H_n(S^n)$$
Poiché $H_n(S^n) \cong \Z$ e $f_*$ è un omomorfismo, allora è dato dalla moltiplicazione per un intero, e questo intero è precisamente il grado $\mathrm{gra}(f)$ di $f$.
Se $f$ è l’identità $f_*$ è anch’essa l’identità e quindi in particolare ha grado uguale ad uno. Più in generale abbiamo le seguenti proprietà:
Proposizione. Il grado topologico soddisfa le seguenti proprietà:
- $\mathrm{gra}(\mathrm{id})=1$.
- Se $f$ non è suriettiva, allora $\mathrm{gra}(f)=0$.
- $\mathrm{gra}(f \circ g)=\mathrm{gra}(f) \mathrm{gra}(g)$
- Se $f$ è un omeomorfismo allora $\mathrm{gra}(f)=\pm 1$, dove scegliamo il $+$ se $f$ preserva l’orientazione e $-$ se la inverte.
Ciò vuol dire in particolare che una mappa costante (quindi non suriettiva) ha grado nullo. Inoltre una riflessione lungo un iperpiano è un omeomorfismo che inverte l’orientazione della sfera e quindi ha grado $-1$.
Per $n=1$ siamo in grado di costruire esplicitamente mappe con grado arbitrario: dato $z \in S^1 \subset \C$ la mappa $f(z)=z^k$ ha grado $k$. Costruire esempi di mappe con grado arbitrario in dimensione maggiore è possibile ma più complicato.
Il concetto di grado topologico può essere esteso più in generale. Infatti sia $M$ una varietà topologica $n$-dimensionale connessa, compatta, senza bordo e orientabile. Allora per i teoremi di dualità dell’omologia, abbiamo $H_n(M) \cong \Z$. Perciò date tali varietà $X,Y$, è possibile più in generale definire il grado di una mappa continua $X \to Y$. Nel caso particolare in cui $Y=S^n$ abbiamo il seguente risultato:
Teorema (Hopf). Sia $M$ una varietà topologica $n$-dimensionale connessa, compatta, senza bordo e orientabile. Allora il grado topologico è l’unico invariante omotopico delle mappe $f, g: M \to S^n$, ovvero se $\mathrm{gra}(f) = \mathrm{gra}(g)$, allora $f$ e $g$ sono omotopiche.
Ciò vale in particolare anche nel caso in cui $M \cong S^n$.