Supponiamo di avere una matrice $A$ (quadrata) e di voler calcolare una serie infinita della forma
$$f(A) = \sum_{n=0}^\infty f_n A^n$$
dove $c_n$ sono dei coefficienti reali arbitrari. Ad esempio delle serie del genere vengono fuori in alcuni casi quando vogliamo calcolare degli integrali su gruppi di Lie.
Una maniera di effettuare il calcolo è, quantomeno se $A$ è diagonalizzabile, di diagonalizzarla $A = S D S^{-1}$ dove $S$ è unitaria e $D$ è diagonale. Allora risulta chiaro dalla formula sopra che
$$f(A) = S f(D) S^{-1}$$
dove $f(D)$ è la matrice diagonale i cui elementi sono la serie sopra applicata agli elementi di $D$.
In alcuni casi, ad esempio se la matrice non è diagonalizzabile, oppure se la diagonalizzazione è numericamente scomoda, si può adottare una tecnica alternativa. Ad ogni matrice $N\times N$ è associato il suo polinomio caratteristico
$$p_A(x) = \det{\pqty{x \eye -A}}=x^N + c_{N-1} x^{N-1} + \cdots + c_1 x + c_0 $$
che è appunto un polinomio di grado $N$ con il coefficiente di $x^N$ pari ad uno. Il teorema di Cayley-Hamilton afferma che
$$p_A(A)=0$$
ovvero $A$ soddisfa il suo stesso polinomio caratteristico. Ciò implica in particolare che possiamo esprimere l’$N$-esima potenza di $A$ in termini di quelle minori,
$$A^N = -c_{N-1} x^{N-1} + \cdots -c_1 x -c_0 = -\sum_{k=0}^{N-1}c_{k} A^k$$
Sostituendo nella serie infinita non otteniamo una bella espressione. Seguiamo quindi Rindlisbacher, Evaluating matrix power series with the Cayley-Hamilton theorem. Vogliamo trovare una formula relativamente semplice per $A^n$ dove $n \geq N$ è arbitrario. Applicando ripetutamente Cayley-Hamilton, sappiamo che è possibile scrivere
$$A^n = \sum_{k=0}^{N-1} a_{n,k} A^k$$
Se $n=N$ conosciamo già i coefficienti, ovvero $a_{N,k}=-c_k$. Altrimenti notiamo che
$$A^{n+1}=A A^n$$
e quindi
$$\sum_{k=0}^{N-1} a_{n+1,k} A^k = \sum_{k=0}^{N-1} a_{n,k} A^{k+1} = \sum_{k=1}^{N} a_{n,k-1} A^{k}$$
A questo punto separiamo il termine $A^N$ a destra e utilizziamo Cayley-Hamilton, per cui
$$\sum_{k=0}^{N-1} a_{n+1,k} A^k = \sum_{k=1}^{N-1} a_{n,k-1} A^{k} + a_{n,N-1} A^{N} =-a_{n,N-1} c_{0} + \sum_{k=1}^{N-1} (a_{n,k-1}-a_{n,N-1} c_{k}) A^{k} $$
E quindi troviamo la formula ricorsiva:
\begin{align}
a_{n+1,0} &= -a_{n,N-1} c_{0}\\
a_{n+1,k} &= a_{n,k-1}-a_{n,N-1} c_{k}
\end{align}
dove la seconda riga è valida per $1 \leq k \leq N-1$. Per $n < N$ poniamo banalmente $a_{n,k} = \delta_{n,k}$. Perciò in definitiva troviamo
$$f(A) = \sum_{n=0}^\infty f_n A^n=\sum_{n=0}^\infty f_n \sum_{k=0}^{N-1} a_{n,k} A^k =\sum_{k=0}^{N-1} \pqty{ \sum_{n=0}^\infty f_n a_{n,k} } A^k $$
Che è una maniera alternativa di esprimere la serie come somma su matrici finite in termini di sommatorie infinite di scalari.