Per calcolare alcuni numeri particolari, ad esempio $\pi$ oppure $e$, è necessario calcolare alcuni termini di una sequenza $x_n$ (che potrebbero essere ad esempio le somme parziali di una serie) che converge ad un certo numero $x_*$. Tuttavia a volte la convergenza di $x_n$ può essere molto lenta, ovvero abbiamo bisogno di moltissimi termini prima di riuscire a far convergere $x_n$. Un rimedio per questo problema è di trasformare la serie in una nuova sequenza $\widetilde{x}_n$ che converge allo stesso numero ma più rapidamente. Questo processo è noto come accelerazione di una sequenza, e ne abbiamo già discusso in un articolo precedente.
In questo articolo vediamo un metodo specifico per accelerare una serie, noto come metodo di Aitken. L’idea è di rimpiazzare la sequenza $x_n$ con la sequenza
$$\widetilde{x}_n = x_n -\frac{(x_{n+1}-x_n)^2}{(x_{n+2}-2x_{n+1}+x_n)}$$
Possiamo riscrivere la sequenza originale convergente $x_n$ come $x_n = x_* + \epsilon_n$ dove $\epsilon_n$ è un termine di errore. Poiché $x_n$ è convergente per ipotesi, $\epsilon_n$ tende a zero per $n \to \infty$. Ora scriviamo in maniera simile $\widetilde{x}_n = x_* + \widetilde{\epsilon}_n$; a priori non sappiamo che $\widetilde{x}_n$ converge a $x_*$ e quindi non facciamo nessuna ipotesi sul termine di errore $\widetilde{\epsilon}_n$.
Il metodo di Aitken migliora la convergenza in alcuni casi specifici. In particolare dobbiamo dimostrare sotto quali condizioni $\widetilde{x}_n \to x_*$ e inoltre che la convergenza è più rapida. Abbiamo il risultato seguente:
Proposizione. Supponiamo che $\epsilon_n \to 0$ tale che $\epsilon_{n+1}/\epsilon_n \to \lambda \neq 1$. Allora $\widetilde{\epsilon}_n / \epsilon_n \to 0$.
Dimostrazione. Sostituendo nelle espressioni per le sequenze, troviamo la formula esatta
$$\widetilde{\epsilon}_n = \frac{\epsilon_n \epsilon_{n+2}-\epsilon_{n+1}^2}{\epsilon_n + \epsilon_{n+2} -2 \epsilon_{n+1}}$$
Una semplice manipolazione algebrica mostra che
$$\frac{\widetilde{\epsilon}_n}{\epsilon_n} = \frac{ \frac{\epsilon_{n+2}}{\epsilon_{n+1}} \frac{\epsilon_{n+1}}{\epsilon_n} -\pqty{\frac{\epsilon_{n+1}}{\epsilon_n}}^2}{1 + \frac{\epsilon_{n+2}}{\epsilon_{n+1}} \frac{\epsilon_{n+1}}{\epsilon_n} -2\frac{\epsilon_{n+1}}{\epsilon_n}}$$
Il denominatore converge a $1 + \lambda^2 -2 \lambda$ che è $\neq 0$ purché $\lambda \neq 1$. Il numeratore converge invece a $\lambda^2 -\lambda^2=0$, e quindi abbiamo $\frac{\widetilde{\epsilon}_n}{\epsilon_n}\to 0$. $\square$
Ciò dimostra che per le ipotesi date, innanzitutto $\widetilde{x}_n \to x_*$; questo perché appunto $\epsilon_n \to 0$ e quindi poiché $\widetilde{\epsilon}_n / \epsilon_n \to 0$, allora anche $\widetilde{\epsilon}_n to 0$. Inoltre proprio perché $\widetilde{\epsilon}_n / \epsilon_n \to 0$ allora la convergenza è più rapida della serie originale (nel senso che l’errore va a zero più rapidamente). Notiamo che questo risultato non funziona (e quindi a priori non è chiaro se il metodo di Aitken funzioni o meno) se $\lambda = 1$, oppure se $\epsilon_{n+1}/\epsilon_{n}$ non converge. In linea di massima la convergenza con velocità $\lambda$ implica $\epsilon_{n} \sim c \lambda^n$ per $n$ grande, che è divergente se $\abs{\lambda} > 1$. Perciò l’ipotesi che $\epsilon_n$ converga implica che $\abs{\lambda} < 1$. Tuttavia il metodo di Aitken può essere applicato anche $\abs{\lambda} > 1$. In tal caso la dimostrazione sopra mostra che il metodo di Aitken trasforma una serie divergente in una convergente (ovvero che $\widetilde{\epsilon}_n \to 0$.
Il metodo di Aitken è utile anche per calcoli numerici, ma bisogna stare attenti che il denominatore nell’espressione non diventi troppo piccolo oppure addirittura nullo.
Nel caso in cui la sequenza $x_n$ da accelerare sia la sequenza delle somme parziali di una serie, il metodo di Aitken è anche noto come metodo di Shanks, ma l’idea è la stessa. Nel caso in cui la sequenza da iterare sia una funzione specifica, ovvero $x_{n+1} = f(x_n)$ il metodo è noto come metodo di Steffensen, e va applicato con una certa cautela, ovvero va scritto nel modo seguente
$$\widetilde{x}_{n+1} = \widetilde{x}_n -\frac{(f(\widetilde{x}_n)-\widetilde{x}_n)^2}{f(f(\widetilde{x}_n))-2 f(\widetilde{x}_n)+\widetilde{x}_n}$$
In questo caso in base a varie ipotesi su $f$ è possibile studiare il tasso di convergenza in maniera più precisa.