Dato un gruppo $G$, spesso è utile considerare il gruppo $\mathrm{Aut}(G)$ dei suoi automorfismi. Una nozione che torna utile a volte (anche se non troppo spesso) è quella di olomorfo di $G$, che è definito come il gruppo
$$\mathrm{Aut}(G) \ltimes G$$
ovvero il prodotto semidiretto di $G$ con il suo gruppo degli automorfismi. Abbiamo parlato del prodotto semidiretto in un precedente articolo. In questo caso $\mathrm{Aut}(G)$ agisce su $G$ nella maniera ovvia, cioè per $g \in G$ e $\phi \in \mathrm{Aut}(G)$ abbiamo la moltiplicazione
$$(\phi_1, g_1) \cdot (\phi_2, g_2) = (\phi_1 \circ \phi_2, g_1 \phi_1(g_2) )$$
Come vedremo in un altro articolo, questa nozione ha alcune (limitate) applicazioni. Può anche essere generalizzata ad altri casi. Ad esempio il gruppo degli automorfismi può anche essere rimpiazzato da un suo sottogruppo $H \leq \mathrm{Aut}(G)$, oppure possiamo rimpiazzare il gruppo degli automorfismi con il semigruppo degli omomorfismi $\mathrm{End}(G)$. In quest’ultimo caso anche l’oggetto risultante sarà un semigruppo.