Un monoide è una struttura più basilare rispetto a quella di gruppo. Ovvero è un insieme $S$ insieme ad un’operazione $\bullet$ che è associativa e ha un’identità. A differenza di un gruppo, non tutti gli elementi ammettono un’inversa. Il monoide è abeliano se $\bullet$ è commutativa. Un esempio di monoide abeliano è il gruppo $\N$ dei numeri naturali rispetto all’addizione $+$, dove l’identità è data dallo $0$, ma nessun naturale ha un’inverso in $\N$.
Il gruppo di Grothendieck è una costruzione che produce un gruppo abeliano $K$ a partire da un monoide abeliano $S$. Il gruppo $K$ soddisfa anche una proprietà universale che lo rende una costruzione naturale. Come vedremo, nel caso del gruppo $\N$, il corrispondente gruppo di Grothendieck è il gruppo dei numeri interi $\Z$. Il gruppo $K$ è definito sul prodotto cartesiano $S \times S$. Ovvero gli elementi di $K$ sono della forma $(a,b)$ con $a, b \in S$. Tuttavia in realtà ciò non è sufficiente, e quindi più precisamente definiamo
$$K = S \times S / \sim$$
dove $\sim$ è una relazione di equivalenza, secondo cui
$$(a_1,b_1) \sim (a_2, b_2) \qquad \leftrightarrow \qquad a_1 \bullet b_2 \bullet c = a_2 \bullet b_1 \bullet c $$
per un qualche $c$ in $S$. Moralmente, vorremmo poter introdurre una sottrazione “$-$” e cancellare $c$, cosicché la condizione diventi “$a_1-b_1 = a_2-b_2$”, ma ciò non è possibile perché $\bullet$ non ha un’operazione inversa in $S$. In altre parole $K$ è l’insieme delle classi di equivalenza $[(a,b)]$ di elementi di $S \times S$ dove due coppie sono la stessa classe, $[(a,b)] = [(c,d)]$ se e solo se $(a,b) \sim (c,d)$.
Ora rimane da definire l’operazione in $K$, che chiamiamo $+$, che definiamo nella maniera ovvia:
$$[(a_1,b_1)] + [(a_2,b_2)] = [(a_1 \bullet a_2, b_1 \bullet b_2)]$$
Allora abbiamo la seguente proposizione
Proposizione. Se $(S, \bullet)$ è un monoide abeliano, allora $(K, +)$ è un gruppo abeliano.
Dimostrazione. Prima di tutto vogliamo dimostrare che l’operazione $+$ è ben definita. Ovvero presi rappresentanti equivalenti dei due elementi, vogliamo dimostrare che danno somma equivalente. Ovvero supponiamo che
\begin{align*}
(a_1, b_1) &\sim (c_1, d_1)\\
(a_2, b_2) &\sim (c_2, d_2)
\end{align*}
Allora vogliamo dimostrare che
$$[(a_1 \bullet a_2, b_1 \bullet b_2)] = [(c_1 \bullet c_2, d_1 \bullet d_2)]$$
E quindi la definizione della somma è indipendente da quali rappresentanti scegliamo. Poiché le due coppie sono equivalenti, esistono degli elementi $e_1, e_2 \in S$ tali che
\begin{align*}
a_1 \bullet d_1 \bullet e_1 &= c_1 \bullet b_1 \bullet e_1\\
a_2 \bullet d_2 \bullet e_2 &= c_2 \bullet b_2 \bullet e_2
\end{align*}
“Sommando” queste due espressioni (rispetto a $\bullet$), e usando la commutatività di $\bullet$, abbiamo quindi
$$(a_1 \bullet a_2) \bullet (d_1 \bullet d_2) \bullet (e_1 \bullet e_2) = (c_1 \bullet c_2) \bullet (b_1 \bullet b_2) \bullet (e_1 \bullet e_2) $$
E quindi come richiesto
$$[(a_1 \bullet a_2, b_1 \bullet b_2)] = [(c_1 \bullet c_2, d_1 \bullet d_2)]$$
Perciò la somma $+$ è ben definita. Ora resta da dimostrare che $(K,+)$ è effettivamente un gruppo. Poiché $\bullet$ è associativa, anche $+$ è associativa. Inoltre poiché $\bullet$ ha un’identità $0 \in S$ allora l’elemento $[(0,0)] \in K$ è l’identità per $K$. Resta solo da dimostrare che ogni elemento di $K$ ha un’inversa. Ma ciò non è difficile. Infatti abbiamo
$$[(a, b)] + [(b,a)] = [(a \bullet b, a \bullet b)]$$
Ma ogni elemento della forma $(a,a)$ è equivalente a $(0,0)$, poiché $a \bullet 0 \bullet 0 = a \bullet 0 \bullet 0$. Ne segue che ogni elemento $[(a,b)] \in K$ ha un’inversa $-[(a,b)] = [(b,a)]$. $\square$
La motivazione dietro questa costruzione è abbastanza chiara pensando al caso concreto dei numeri naturali $\N$. In questo caso il gruppo di Grothendieck $K$ è composto dalle coppie $[(a,b)]$ di numeri naturali. In pratica $[(a,b)]$ rappresenta il numero intero $a-b \in \Z$. Infatti diciamo che $(a,b) \sim (c,d)$ se $a+d+e = b+c+e$ per un qualche $e$, e ciò appunto negli interi vuol dire che le due coppie sono equivalenti se $a-b = c-d$, cioè se rappresentano la stessa differenza. A questo punto non sorprende che l’inverso di un numero $n$, cioè “$-n$”, altro non è se non $-(n,0) = (0,n)$.
La stessa costruzione si può applicare al gruppo degli interi non-nulli $\Z_{\neq 0}$ con la moltiplicazione. In questo caso il corrispondente gruppo di Grothendieck è il gruppo dei numeri razionali $\Q$.
Chiaramente esistono molte maniere di associare un gruppo ad un monoide. Tuttavia il gruppo di Grothendieck è una scelta particolarmente buona perché soddisfa la seguente proprietà universale:
Proposizione. Sia $S$ un monoide abeliano e $K$ il suo gruppo di Grothendieck. Allora esiste un omomorfismo tra monoidi abeliani $i: S \to K$ tale che per ogni omomorfismo tra monoidi abeliani $f: S \to A$ dove $A$ è un gruppo abeliano, esiste un unico omomorfismo di gruppi abeliani $g: K \to A$ tale che $f = g \circ i$.
Dimostrazione. La mappa $i$ è quella ovvia ovvero $i(a) = [(a,0)]$, che è anche un omomorfismo di monoidi abeliani dato che
$$i(a\bullet b) = [(a \bullet b, 0)] = [(a,0)]+[(b,0)] =i(a) + i(b)$$
Ora supponiamo che $A$ sia un gruppo abeliano e abbiamo un omomorfismo di monoidi abeliani $f:S \to A$. Vogliamo quindi costruire $g$. Per definizione, deve soddisfare $f = g \circ i$. Perciò poiché $i(a) = [(a,0)]$, dobbiamo porre $g([(a,0)]) = f(a)$. In particolare $g([(0,0)])=f(0)=0_A$ dove $0_A$ è l’identità in $A$, dato che $f$ è un omomorfismo tra monoidi. Ciò definisce $g$ su un sottoinsieme di elementi di $K$. Poiché vogliamo che $g$ sia un omomorfismo tra gruppi abeliani, deve rispettare l’inversione e quindi dobbiamo porre
$$g([(0,a)]) = g(-[(a,0)]) =-g([(a,0)])= -f(a)$$
dove $-f(a)$ è l’inversa in $A$ di $f(a)$. Poiché $g$ è un omomorfismo deve anche soddisfare preservare la somma di elementi, e quindi in generale
$$g([(a,b)]) = g([(a,0)]+[(0,b)]) = g([(a,0)])+_A g([(0,b)]) = f(a) +_A (-f(b))$$
dove $+_A$ è l’addizione in $A$. Abbiamo quindi costruito esplicitamente la mappa $g$ se esiste che quindi è unica ed è un omomorfismo di gruppi abeliani. Tuttavia rimane da dimostrare che la mappa sia ben definita. Infatti consideriamo $(a_1, b_1) \sim (a_2, b_2)$. Dobbiamo dimostrare che $g$ è indipendente da quale rappresentante scegliamo. In particolare, abbiamo
\begin{align*}
g([a_1, b_1]) &= f(a_1)+_A (-f(b_1))\\
g([a_2, b_2]) &= f(a_2)+_A (-f(b_2))
\end{align*}
Poiché le due coppie sono equivalenti, abbiamo $a_1 \bullet b_2 \bullet c = a_2 \bullet b_1 \bullet c$. Poiché $f$ è un omomorfismo di monoidi, possiamo applicarlo da entrambi i lati e ottenere
$$f(a_1) +_A f(b_2) +_A f(c) = f(a_2) +_A f(b_1) +_A f(c)$$
Poiché $A$ è un gruppo abeliano, possiamo quindi cancellare $f(c)$ e spostare i vari termini, ottenedo precisamente $f(a_1)+_A (-f(b_1))= f(a_2)+_A (-f(b_2))$, ovvero $g([a_1, b_1]) = g([a_2, b_2])$. Ciò conclude la dimostrazione. $\square$