Consideriamo l’insieme (o la classe) $X$ degli spazi vettoriali reali. In realtà il campo di fondo non cambia nulla e può essere un campo qualsiasi. C’è il solito problema che non dovremmo parlare di insieme di insiemi (per cui usiamo la parola classe), ma ignoreremo questo problema.
Un elemento di $V \in X$ è uno spazio vettoriale reale $V$. Tuttavia è naturale considerare come equivalenti due spazi vettoriali isomorfi: per cui consideriamo l’insieme $Y \equiv X / \sim$ delle classi di equivalenza di spazi vettoriali reali. Un elemento di $[V] \in Y$ è una classe di equivalenza di spazi vettoriali reali; due classi sono uguali, $[V_1]=[V_2]$ se i due spazi $V_1 \cong V_2$ sono isomorfi.
Poiché sappiamo che due spazi vettoriali sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione, allora la mappa $\dim:Y \to \N$, definita da $[V] \to \dim V$, è una biezione. La mappa è ben definita perché tutti gli spazi vettoriali nella classe $[V]$ hanno la stessa dimensione, ed è biettiva perché due spazi vettoriali hanno la stessa dimensione se e solo se sono isomorfi; inoltre esistono spazi vettoriali di ogni dimensione intera non-negativa.
La cosa interessante di questo isomorfismo è che possiamo estenderlo anche ad altre operazioni. Ad esempio dati due spazi vettoriali possiamo formarne la somma diretta $V_1 \oplus V_2$. Possiamo quindi definire un’addizione su $Y$ definita da
$$[V_1] + [V_2] = [V_1 \oplus V_2]$$
È facile vedere che l’addizione è ben definita, associativa, abeliana, ecc. Inoltre lo spazio vettoriale di dimensione $0$ è l’identità per questa addizione. Inoltre utilizzando la mappa ad $\N$ abbiamo
$$\dim [V_1 \oplus V_2] = \dim [V_1] + \dim [V_2]$$
E quindi $(Y,+)$ è isomorfo ad $(\N,+)$ come monoide abeliano. Un monoide è la stessa cosa di un gruppo, in cui non richiediamo però l’esistenza degli elementi inversi. Infatti in $(\N,+)$, ad esempio l’inverso di $3$ sarebbe $-3$, tale che $3 + (-3)=0$, ma $-3$ non appartiene ad $\N$. In termini di spazi vettoriali, non esistono spazi vettoriali di dimensione negativa.
Abbiamo visto in un precedente articolo la costruzione di Grothendieck [CITA], che permette di associare un gruppo abeliano ad ogni monoide abeliano in maniera canonica. Rimandiamo a quell’articolo per la definizione. Il gruppo di Grothendieck $K(Y)$ è formato da elementi (detti spazi vettoriali virtuali) della forma $[V_1]-[V_2]$, ovvero dalla differenza formale di due elementi in $Y$. La differenza si intende come operazione inversa all’addizione. In questo senso non ci sorprenderà che $K(Y) \cong (\Z,+)$ è isomorfo agli interi come gruppo abeliano.
Su $Y$ è anche possibile definire un’ulteriore operazione, una “moltiplicazione” che deriva dal prodotto tensoriale di spazi vettoriali, ovvero
$$[V_1] \cdot [V_2] \equiv [V_1 \otimes V_2]$$
Per il calcolo delle dimensioni abbiamo
$$\dim [V_1 \otimes V_2] = \dim [V_1] \dim [V_2]$$
e quindi questa altro non è se non la moltiplicazione tra due numeri naturali. Poiché il prodotto tensoriale è distributivo rispetto alla somma (e quindi rispetto alla differenza, che è la sua inversa formale), l’operazione può essere estesa a $K(Y) \cong \Z$. Perciò abbiamo ottenuto su $\Z$ la sua struttura classica di anello rispetto alla somma e alla moltiplicazione di interi.
A questo punto ci riteniamo soddisfatti e diciamo che l’anello $K(Y)$ classifica gli spazi vettoriali virtuali. Il vantaggio di avere un vero e proprio anello invece di un monoide è che una struttura algebrica più piacevole. Questa procedura potrà sembrare inutile nel caso banale degli spazi vettoriali, ma forma la base concettuale della costruzione di spazi più complessi, come la classe delle rappresentazioni di un gruppo, oppure anche la teoria $K$, ovvero la classe dei fibrati vettoriali su una certa varietà base.