Abbiamo visto in un precedente articolo la classe degli spazi vettoriali. In questo articolo ci occupiamo di un caso particolare in cui abbiamo più struttura: ovvero della classe $R(G)$ delle rappresentazioni di un gruppo finito $G$. Una rappresentazione è una coppia $(V, \rho)$ dove $V$ è uno spazio vettoriale complesso e $\rho: G \to \mathrm{Aut}(V)$ è una “rappresentazione” di $G$ come matrice su $V$. Per semplicità di notazione indicheremo solo lo spazio vettoriale $V$, dove l’azione è implicita; ricordiamo comunque che su ogni spazio vettoriale possiamo avere più di una azione di $G$.
Poiché abbiamo molteplici rappresentazioni equivalenti, chiamiamo $[V]$ la classe di equivalenza di $V$ come rappresentazione di $G$; per ciò non è sufficiente l’equivalenza di spazi vettoriali, come nel precedente articolo, ma anche delle corrispondenti rappresentazioni. Definiamo la classe $R(G)$ come formata dalle somme formali $\sum_i n_i [V_i]$ dove $i$ indicizza tutte le possibili rappresentazioni di $G$ (a meno di equivalenza) e $n_i \in \Z$ è un numero intero. Come nel caso precedente, saremmo potuti arrivare a questo risultato partendo dal monoide abeliano dato dalla somma diretta tramite la costruzione di Grothendieck; qui andiamo più rapidi e lo definiamo direttamente così. Definiamo $[V]+[W]=[V \oplus W]$ e quindi abbiamo la somma
$$\sum_i n_i [V_i] + \sum_i m_i [V_i] = \sum_i (n_i+m_i) [V_i]$$
Gli elementi di $R(G)$ sono detti “rappresentazioni virtuali”. Infatti $\sum_i n_i [V_i]$ corrisponde ad una rappresentazione di $G$ soltanto se $n_i \geq 0$ per ogni $i$. In tal caso diciamo che è una “rappresentazione effettiva” e concretamente abbiamo
$$\sum_i n_i [V_i] = [\bigoplus_i V_i^{\oplus n_i}]$$
Se invece qualcuno degli $n_i$ è negativo, l’elemento non corrisponde ad una rappresentazione effettiva. Il vantaggio di lavorare con le rappresentazioni virtuali è di avere una struttura algebrica più piacevole (un gruppo invece di un monoide). Non è difficile vedere che ogni elemento di $R(G)$ può essere scritto come $[V]-[W]$ dove $V$ e $W$ sono rappresentazioni effettive.
Date due rappresentazioni, possiamo anche calcolarne il prodotto tensoriale,
$$[V] \cdot [W] \equiv [V \otimes W]$$
ed estendendo distributivamente a tutti gli elementi della forma $\sum_i n_i [V_i]$. Ciò rende $R(G)$ un anello commutativo.
In questo caso abbiamo anche una struttura ulteriore, cioè la coniugazione complessa $V \to V^*$ che trasforma una rappresentazione nella sua rappresentazione duale.
Poiché ogni rappresentazione di un gruppo finito può essere decomposta nella somma diretta di rappresentazioni irriducibili, allora in realtà basta prendere la somma sulle irriducibili. Ciò implica che ogni elemento di $R(G)$ può essere scritto come
$$\sum_{i \in \mathrm{Irr}(G)} n_i [V_i]$$
dove $ \mathrm{Irr}(G)$ è l’insieme delle rappresentazioni irriducibili di $G$ e $n_i \in \Z$. Ciò implica quindi che come gruppo abeliano con l’addizione, $R(G)$ è isomorfo a $\Z^\abs{\mathrm{Irr}(G)}$. Tuttavia non c’è una versione ovvia della moltiplicazione in $\Z^n$; nonostante questo una moltiplicazione è definita in $R(G)$ in base alla struttura del prodotto tensoriale delle irriducibili di $G$, ma non c’è una descrizione generica. Se $G$ è il gruppo banale, allora notiamo che come anello $R(G) \cong \Z$, dato che essenzialmente ci riduciamo al caso degli spazi vettoriali (l’azione di $G$ è sempre banale).
Un altro fatto interessante è che su $R(G)$ è possibile definire un prodotto scalare, esplicitamente
$$(V,W) \equiv \dim \mathrm{Hom}_G(V,W)$$
dove $\mathrm{Hom}_G(V,W)$ è lo spazio vettoriale delle mappe lineari equivarianti $f:V \to W$, ovvero $f(gv)=gf(v)$ dove i due $g$ si riferiscono all’azione (rappresentazione) di $G$ su $V$ e $W$ rispettivamente. Chiaramente $(V,W)$ dipende solo dalla classe di equivalenza della rappresentazione; inoltre è bilineare e quindi può essere estesa a tutto $R(G)$ richiedendo la bilinearità. Dati due elementi generici di $R(G)$ calcoliamo quindi
$$\pqty{\sum_{i \in \mathrm{Irr}(G)} n_i [V_i], \sum_{j \in \mathrm{Irr}(G)} m_j [V_j]} = \sum_{i,j \in \mathrm{Irr}(G)} n_i m_j ([V_i],[V_j])=\sum_{i \in \mathrm{Irr}(G)} n_i m_i$$
L’ultimo risultato segue poiché $V_i$, $V_j$ sono irriducibili, il lemma di Schur implica che $([V_i],[V_j]) = \mathrm{Hom}_G(V_i,V_j)=\delta_{ij}$. Perciò il prodotto scalare è semplicemente il prodotto scalare standard tra due vettori in $\Z^n$. In questa maniera è chiaro che il prodotto è simmetrico e non-degenere.