Abbiamo visto in un precedente articolo il fenomeno del raddoppiamento dei fermioni e abbiamo calcolato il propagatore fermionico in due casi diversi. In questo caso visualizziamo quello che succede tramite alcuni semplici grafici in una dimensione: ciò ci aiuterà ad evidenziare la generalità del fenomeno. Iniziamo con i fermioni ingenui, che in una dimensione hanno propagatore inverso
$$D(p)^{-1} = i\sin(p)$$
dove abbiamo posto $a=1$ per semplicità. Ignorando l’unità immaginaria, il grafico è il seguente:
Abbiamo plottato anche (nero a tratti) la legge lineare, che è quello che vorremmo ottenere nel continuo. Infatti $\sin(p)\approx p$ vicino a $p \approx 0$, che è quello che vogliamo, ma la relazione di dispersione lineare si ha anche a $p \approx \pi$ dove di nuovo abbiamo $\sin(\pi-p)\approx p$. Quindi abbiamo due fermioni nel continuo invece di uno.
Questa conclusione non è facile da evitare. Infatti vediamo quali sono gli ingredienti principali:
- L’invarianza per traslazioni, senza la quale non avremmo potuto fare la trasformata di Fourier per andare nella zona di Brillouin.
- La località dell’azione, il che implica che il propagatore $D(p)^{-1}$ è una funzione continua nella zona di Brillouin.
- Il corretto limite del continuo, ovvero la relazione di dispersione lineare vicino a zero.
- L’invarianza chirale, che in questo caso è banalmente la simmetria $p \to \pi-p$.
Vediamo quindi che se vogliamo il giusto limite del continuo, la relazione di dispersione deve essere circa lineare vicino a zero; per la continuità, $D(p)^{-1}$ deve prendere lo stesso valore a $-\pi$ e a $\pi$, il che implica che quindi a sinistra deve tornare su e a destra deve tornare giù: ciò implica che da qualche parte deve di nuovo attraversare lo zero e quindi dare luogo ad una nuova specie fermionica (dato che le particelle sono appunto i poli del propagatore). Per la simmetria chirale, questa altra specie si trova a $p=\pi$ ed ha di nuovo una relazione di dispersione quadratica. In questo senso, non è molto importante quale sia la relazione di dispersione esatta: purché siano soddisfatte le condizioni sopra, si avrà raddoppiamento. Questo fatto è anche stato dimostrato rigorosamente, che costituisce il cosiddetto “teorema di Nielsen-Ninomiya”.
Allora come fanno i fermioni di Wilson ad evitare questo problema? Ponendo $r=1$ abbiamo la relazione di dispersione
$$D(p)^{-1} =i \sin{p} + 2\sin(p/2)^2$$
In questo caso non possiamo fare lo stesso grafico, perché abbiamo un termine reale e uno immaginario. Possiamo però fare un grafico del valore assoluto $\abs{D(p)^{-1}}$ e lo facciamo in entrambi i casi per confrontarlo meglio, ottenendo:
In questo caso vediamo che i fermioni di Wilson hanno anch’essi una relazione di dispersione lineare vicino a zero, ma che, a differenza degli altri, vanno a zero solo a $p\approx 0$. In questo caso i fermioni aggiuntivi ci sono ancora (come predetto dall’argomentazione sopra, dato che i fermioni di Wilson soddisfano le prime tre condizioni), ma hanno acquisito una massa che diventa infinita nel limite del continuo.
Tanto per curiosità, plottiamo anche il propagatore inverso per gli scalari:
$$D(p)^{-1} = \pqty{2\sin(p/2)}^2$$
ovvero
In questo caso, evitiamo direttamente il problema perché la relazione di dispersione vicino a zero non è lineare ma quadratica. Quindi “non va giù” a sinistra e quindi non ha mai nessun problema di “tornare sù”.