Abbiamo visto in un precedente articolo che il caos in un sistema quantistico viene quantificato in base alla distribuzione dei divari energetici tra gli autovalori. In pratica, dato un certo sistema quantistico ne calcoliamo tutti i divari energetici, ovvero tutti le differenze tra energie $E_{n+1}-E_n$ (che sono positive per definizione). Dobbiamo trovare anche una scala del sistema; scegliamo di normalizzare i divari energetici in modo che abbiano media $1$.
Allora i divari energetici di una matrice casuale (corrispondente all’Hamiltoniana di un sistema caotico) seguono la distribuzione di probabilità di Wigner,
$$p(s) = \frac{\pi}{2} s e^{-\frac{\pi}{4}s^2}$$
Possiamo verificare che è normalizzata, e che ha media $1$. Al contrario, in un sistema integrabile la distribuzione è esponenziale,
$$p(s) = e^{-s}$$
Anch’essa è normalizzata e ha media $1$. In un sistema generico di cui vogliamo valutare la caoticità fa spesso comodo trovare una distribuzione intermedia a cui fittare la distribuzione misurata dei divari energetici, in maniera da poter valutare la caoticità del sistema con maggiore flessibilità. A tale scopo si usa la distribuzione di Brody,
$$p(s) \propto s^\alpha e^{-b s^{\alpha+1}}$$
dove fra poco determineremo sia $b$ sia la costante di proporzionalità. La distribuzione di Brody interpola tra la distribuzione di Poisson ($\alpha=0$) e la distribuzione di Wigner ($\alpha=1$). Fittando i dati misurati alla distribuzione di Brody, si ottiene $\alpha$, che è una misura della caoticità del sistema.
Ora calcoliamo la normalizzazione della distribuzione di Brody. Supponendo che $C$ sia la costante di proporzionalità, dobbiamo avere
$$1 = \int_0^\infty p(s)\,ds = C \int_0^\infty s^\alpha e^{-b s^{\alpha+1}} \, ds=$$
Sostituiamo quindi $t = b s^{\alpha+1}$ ottenendo $dt = b(\alpha+1) s^{\alpha} ds$ e quindi
$$=\frac{C}{b(\alpha+1)} \int_0^\infty e^{-t} = \frac{C}{b(\alpha+1)}$$
Perciò $C=b(\alpha+1)$. Tuttavia è anche importante avere la media della distribuzione pari ad $1$, per poterla confrontare con i dati. Perciò dobbiamo avere anche
$$1 =\int_0^\infty s p(s)\,ds =b(\alpha+1) \int_0^\infty s^{\alpha+1} e^{-b s^{\alpha+1}} ds=$$
Utilizzando di nuovo la stessa sostituzione di prima troviamo
$$=b^{-1/(\alpha+1)} \int_0^\infty t^{1/(\alpha+1)} e^{-t} dt=$$
Questa è esattamente la definizione della funzione $\Gamma$: notando che $1/(\alpha+1) = (\alpha+2)/(\alpha+1)-1$, abbiamo quindi
$$=b^{-1/(\alpha+1)} \Gamma\pqty{\frac{\alpha+2}{\alpha+1}}$$
e quindi dobbiamo avere
$$b = \bqty{\Gamma\pqty{\frac{\alpha+2}{\alpha+1}}}^{\alpha+1} $$
Perciò ricapitolando la distribuzione di Brody è data appunto da
$$p(s) =b(\alpha+1) s^\alpha e^{-b s^{\alpha+1}}$$
con $b$ definito come sopra.