Dato un gruppo finito $G$, abbiamo sempre una rappresentazione irriducibile monodimensionale, cioè la rappresentazione banale. Tuttavia possiamo averne altre. Viene fuori che le rappresentazioni monodimensionali di $G$ sono in corrispondenza con le rappresentazioni della sua abelianizzazione.
Abbiamo visto l’abelianizzazione in un precedente articolo, e in un altro articolo ne abbiamo studiato la proprietà universale. Possiamo utilizzare questi risultati per dimostrare il seguente fatto:
Proposizione. Le rappresentazioni monodimensionali di un gruppo $G$ sono in corrispondenza biunivoca con le rappresentazioni della sua abelianizzazione $G^{\mathrm{ab}}$.
L’abelianizzazione di $G$ è un gruppo abeliano e quindi tutte le sue rappresentazioni irriducibili sono monodimensionali. Il punto è che una rappresentazione monodimensionale è necessariamente abeliana e quindi l’abelianizzazione di $G$ è l’unica cosa che conta. Inoltre, poiché $G$ è abeliano ogni elemento forma una classe di coniugazione a sé. Ciò implica che $G^{\mathrm{ab}}$ ha $\abs{G^{\mathrm{ab}}}$ classi di coniugazione e quindi per un teorema standard della teoria delle rappresentazioni, lo stesso numero di rappresentazioni irriducibili. Segue il risultato seguente:
Corollario. Il numero delle rappresentazioni monodimensionali irriducibili di $G$ è pari all’ordine $\abs{G^{\mathrm{ab}}}$ della sua abelianizzazione.
Ora possiamo procedere alla dimostrazione della proposizione.
Dimostrazione. L’abelianizzazione $G^{\mathrm{ab}} = G/[G,G]$ è il quoziente di $G$ per il gruppo $[G,G]$ generato dai commutatori di elementi in $G$. Abbiamo perciò la proiezione canonica $\pi: G \to G^{\mathrm{ab}}$ data da $\pi(g) = g [G,G]$.
Una rappresentazione monodimensionale di $G$ è un omomorfismo $\rho: G \to \C^{\times}$, cioè $\C$ senza lo zero, che è un gruppo abeliano. Segue dalla proprietà universale dell’abelianizzazione che esiste un unico omomorfismo $\rho^{\mathrm{ab}} : G^{\mathrm{ab}} \to \C^{\times}$ tale che $\rho = \rho^{\mathrm{ab}} \circ \pi$.
Nella direzione opposta, data una rappresentazione monodimensionale $\rho^{\mathrm{ab}}$ di $G^{\mathrm{ab}}$, è chiaro che $\rho = \rho^{\mathrm{ab}} \circ \pi$ è una rappresentazione di $G$. $\square$