I metalli alcalini sono dei metalli che fanno parte del primo gruppo della tavola periodica. Questo articolo serve a giustificare un’affermazione di Legget in Quantum liquids, secondo cui tra i metalli alcalini, gli isotopi pari sono fermioni mentre gli isotopi dispari sono bosoni.
Un atomo ha diverse caratteristiche. In particolare, il numero atomico $Z$ è il numero di protoni, mentre il numero di massa $A$ è uguale al numero di protoni più il numero di neutroni. Diversi isotopi dello stesso elemento hanno lo stesso $Z$ ma diversi $A$ (cioè lo stesso numero di protoni ma un numero diverso di neutroni, che sarà appunto $A-Z$. Poiché supponiamo che gli atomi siano neutri, allora devono avere lo stesso numero di protoni ed elettroni, ovvero $Z$.
Poiché tanto gli elettroni quanto i protoni o i neutroni, per le solite regole dello spin abbiamo che un atomo è un bosone o un fermione se il numero totale di particelle è pari o dispari rispettivamente. Perciò abbiamo
$$\#\,\,\mathrm{protoni} +\#\,\,\mathrm{neutroni} + \#\,\,\mathrm{elettroni} = \begin{cases}\mathrm{pari} & \to \mathrm{\,bosone} \\\mathrm{dispari} & \to \mathrm{fermione} \end{cases}$$
Poiché il numero di protoni ed elettroni è lo stesso, in questa formula contano però solo i neutroni. In altre parole, in termini dei numeri di prima abbiamo
$$\#\,\,\mathrm{protoni} +\#\,\,\mathrm{neutroni} + \#\,\,\mathrm{elettroni} = Z + (A-Z) + Z = A+Z$$
I metalli alcalini sono litio ($Z=3$), sodio ($Z=11$), potassio ($Z=19$), rubidio ($Z=37$), cesio ($Z=55$) e francio ($Z=87$). Perciò per tutti questi metalli $Z$ è dispari. Ne segue che abbiamo la regola
$$ \begin{cases}A\,\mathrm{dispari} & \to \mathrm{\,bosone} \\ A \mathrm{pari} & \to \mathrm{fermione} \end{cases}$$
Il che riproduce l’affermazione di Legget. Ad esempio uno degli atomi utilizzati più spesso utilizzati negli esperimenti a basse temperature è il ${}^{87} \mathrm{Ru}$, il che vuol dire che $A=87$ e quindi l’atomo è un bosone.