L’aggrovigliamento (in inglese entanglement) è una proprietà quantistica. Quando due sistemi sono aggrovigliati, esistono delle correlazioni tra le due che legano i due sistemi: ad esempio non possiamo misurare uno dei due senza simultaneamente misurare anche l’altro. Consideriamo due sistemi quantistici $A$ e $B$, il cui spazio di Hilbert è descritto da un prodotto tensoriale $\mathcal{H} = \mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B$. Supponiamo ad esempio che tanto $A$ quanto $B$ siano un semplice spin $1/2$. Un esempio di stato aggrovigliato è
$$\ket{\Psi} = \frac{1}{\sqrt{2}} \pqty{ \ket{\uparrow_A} \ket{\uparrow_B } + \ket{\downarrow_A} \ket{\downarrow_B } }$$
In questo stato misurando il sistema $A$ otteniamo $\ket{\uparrow}$ oppure $\ket{\downarrow}$. Simultaneamente abbiamo collassato $B$ e sappiamo già che si troverà nello stesso stato di $A$. Abbiamo visto che è possibile utilizzare l’aggrovigliamento per il teletrasporto quantistico.
Una delle maniere di dare una misura quantitativa all’aggrovigliamento di un sistema è la cosiddetta entropia di aggrovigliamento. Di solito si formula in termini delle matrici di densità. In questo caso consideriamo solo il caso di stati puri. Perciò se il sistema combinato $\mathcal{H}$ è in uno stato $\ket{\Psi}$ (normalizzato) allora consideriamo la matrice di densità $\rho = \ket{\Psi}\bra{\Psi}$. Il primo passo è il calcolo della matrice di densità ridotta
$$\rho_A = \tr_B(\rho)$$
Ovvero rimuoviamo i gradi di libertà di $B$ e otteniamo una descrizione di $A$ dove l’influenza di $B$ è stata integrata via. Più concretamente, data una base ortonormale $\ket{i}$, la traccia di un operatore $O$ è data da $\tr(O) = \sum_i \bra{i} O \ket{i}$. Con la notazione $\tr_B$ intendiamo che la traccia è effettuata solo sui gradi di libertà di $B$: ovvero data una base $\ket{i_B}$ di $\mathcal{H}_B$, la traccia su $B$ di un operatore $O$ è definita come
$$\tr_B(O) = \sum_i \bra{i_B} O \ket{i_B}$$
In termini ancora più concreti, possiamo espandere $\ket{\Psi}$ in una base ortonormale, ovvero
$$\ket{\Psi} = \sum_{ij} c_{ij} \ket{i_A}\ket{j_B}$$
Allora la matrice di densità è
$$\rho = \ket{\Psi}\bra{\Psi}=\sum_{ij i’ j’} c_{ij} c_{i’j’}^* \ket{i_A}\bra{i’_A}\,\ket{j_B} \bra{j’_B} $$
dove ognuno dei $\ket{i_A}\bra{i’_A}$ agisce solo su $\mathcal{A}$ e ognuno dei $\ket{j_B} \bra{j’_B} $ agisce solamente su $\mathcal{B}$. Effettuando la traccia su $B$ otteniamo quindi
\begin{align}
\rho_A = \tr_B(\rho) &= \sum_{k} \bra{k_B} \rho \ket{k_B} = \\
&=\sum_{ij i’ j’} \sum_k c_{ij} c_{i’j’}^* \ket{i_A}\bra{i’_A} \expval{k_B | j_B} \expval{j’_B | k_B} =\\
&=\sum_{ij i’ j’} c_{ij} c_{i’j’}^* \ket{i_A}\bra{i’_A} \delta_{j_B, j’_B}=\\
&=\sum_{i i’} \pqty{\sum_j c_{ij} c_{i’ j}^*}\ket{i_A}\bra{i’_A}
\end{align}
dove abbiamo utilizzato l’ortonormalità della base. Nonostante siamo partiti da uno stato puro, $A$ vede in generale uno stato misto; ciò perché in un certo senso stiamo facendo una somma su tutti i possibili risultati delle misurazioni su $B$. Il risultato è una matrice di densità definita solo su $A$. In termini concreti, $\rho_A$ può anche essere definita come segue. Chiamiamo $C$ la matrice tale che $C_{ij} = c_{ij}$. Allora
$$\rho_A = C C^\dagger$$
che è facile da calcolare. Una volta ottenuta $\rho_A$, l’entropia di aggrovigliamento tra $A$ e $B$ definita come l’entropia di $\rho_A$, ovvero
$$S = -\tr_A(\rho_A \log \rho_A)$$
In generale non è possibile scrivere l’espressione per $S$ in termini dei coefficienti $c$. Questo perché per definire il logaritmo bisogna calcolare gli autovalori $\lambda_a$ di $\rho_A$ (che hanno una relazione complicata con gli $c$) e quindi
$$S = -\sum_a \lambda_a \log \lambda_a$$
Per questo motivo si usa spesso un’altra maniera di formulare l’entropia di aggrovigliamento. Consideriamo di nuovo la matrice $\rho = \ket{\Psi}\bra{\Psi}$. A questo punto utilizziamo un teorema, cioè la decomposizione ai valori singolari. Ciò implica che esiste una base ortonormale $\ket{i_A}$ di $A$ e una base ortonormale $\ket{j_B}$ di $B$ dove $i = 1, 2, \ldots, \mathrm{dim}\mathcal{H}_A$ e $j = 1, 2, \ldots, \mathrm{dim}\mathcal{H}_B$ tale che
$$\ket{\Psi} = \sum_{k} \sigma_k \ket{k_A} \ket{k_B} \qquad \sigma_k \in [0,1]$$
In meccanica quantistica questa decomposizione è detta decomposizione di Schmidt. Il vantaggio è che adesso abbiamo un solo indice comune ad entrambi i sistemi. Perciò
$$\rho = \sum_{k, k’} \sigma_k \sigma_{k’} \ket{k_A} \bra{k’_A} \ket{k_B} \bra{k’_B}$$
Perciò possiamo calcolare esplicitamente la traccia in termini dei valori singolari $\sigma$:
$$\rho_A = \sum_k \sigma_k^2 \ket{k_A} \bra{k_A} \qquad \rho_B = \sum_k \sigma_k^2 \ket{k_B} \bra{k_B}$$
Poiché questa volta le due matrici sono diagonali, calcolare l’entropia è banale. In particolare, l’entropia di aggrovigliamento è uguale nei due sistemi:
$$S_A = S_B = -\sum_{k} \sigma_k^2 \log{(\sigma_k^2)}$$