In un precedente articolo, abbiamo visto la definizione di rappresentazione ristretta e di rappresentazione indotta. Il motivo della definizione abbastanza strana della rappresentazione indotta è che forma un’aggiunzione con la rappresentazione ristretta, ovvero abbiamo
Teorema (Reciprocità di Frobenius). $\mathrm{Hom}(\mathrm{Ind} V, W)_G = \mathrm{Hom}(V, \mathrm{Res} W)_H$.
Dimostrazione. Chiariamo prima di tutto i vari oggetti. Dati due spazi vettoriali arbitrari, la notazione $\mathrm{Hom}(V, W)$ indica lo spazio delle mappe lineari $V \to W$. Nel nostro caso abbiamo anche un gruppo $G$ e un suo sottogruppo $H$, insieme ad una rappresentazione $\rho$ di $H$ su $V$ e una rappresentazione $\sigma$ di $G$ su $W$. Possiamo quindi costruire la rappresentazione ristretta $\sigma_{\mathrm{Res}}=\mathrm{Res} W$, che è una rappresentazione di $H$ su $W$, e anche la rappresentazione indotta $\rho_{\mathrm{Ind}} = \mathrm{Ind} V$ che è una rappresentazione di $G$. Dati due rappresentazioni arbitrarie di un gruppo $G$ su spazi vettoriali $V$ e $W$ viene denotata con $\mathrm{Hom}(V, W)_G$ lo spazio delle mappe lineari equivarianti tra le due rappresentazioni (nel passato le abbiamo anche chiamate intrecciatori).
Nel nostro caso concreto, un elemento $\phi \in \mathrm{Hom}(\mathrm{Ind} V, W)_G$ è una mappa lineare $\phi: \mathrm{Ind} V \to W$ che soddisfa $\phi \circ \rho_{\mathrm{Ind}}(g) =\sigma(g) \circ \phi $ per ogni $g \in G$. Invitiamo il lettore a controllare esplicitamente che i domini e codomini delle varie funzioni siano corretti. In termini più concreti, ciò vuol dire che
$$\phi \circ \rho_{\mathrm{Ind}}(g) (x \otimes v) = \sigma(g) \circ \phi(x \otimes v) $$
dove $x \in \C[G]$ e $v \in V$. Come abbiamo visto nei precedenti articoli, è utile scrivere $g = \xi h$ per $h \in H$ e $\xi \in S$ e $S$ è un insieme di rappresentanti dei coinsiemi $G/H$. Ora ponendo $x=1$ notiamo che per $h \in H < G$ abbiamo
$$\rho_{\mathrm{Ind}}(h) (1 \otimes v) = h \otimes v = 1 \otimes \rho(h) v$$
per la definizione di rappresentazione indotta. Poiché abbiamo l’identificazione ovvia $ V \cong 1 \otimes V$, in questo sottospazio restringendo $\rho_{\mathrm{Ind}}$ ad $H$ otteniamo precisamente la rappresentazione originale $\rho$. Definendo quindi $\widetilde{\phi}(v) \equiv \phi(1 \otimes v)$ abbiamo quindi un una mappa lineare $\widetilde{\phi}: V \to W$ (notiamo che come spazio vettoriale $W = \mathrm{Res}W$) tale che
$$\widetilde{\phi}(\rho(h)v) = \sigma(h) \widetilde{\phi}(v)$$
cioè $\widetilde{\phi}$ è equivariante. Abbiamo quindi dimostrato che data una mappa qualsiasi $\phi \in \mathrm{Hom}(\mathrm{Ind} V, W)_G$ abbiamo un’altra mappa $\widetilde{\phi} \in \mathrm{Hom}(V, \mathrm{Res} W)_H$.
Rimane quindi da dimostrare l’altra direzione. Ovvero supponiamo di avere una mappa equivariante $\widetilde{\phi}: V \to \mathrm{Res}W$. Per definire una mappa equivariante $\phi \in \mathrm{Hom}(\mathrm{Ind} V, W)_G$ cominciamo notando che come spazio vettoriale $\mathrm{Ind}(V)$ ha una base formata data da $\xi_i \otimes e_j$ dove $\xi_i \in S$ e $S$ è un insieme dei rappresentanti dei coinsiemi $G/H$, mentre $e_j$ è una base di $V$. Procediamo quindi a definire $\phi$ sulla base ponendo
$$\phi(\xi \otimes v) =\sigma(\xi) \widetilde{\phi}(v)$$
ed estendendo poi linearmente su tutto lo spazio. Di nuovo è giusto controllare che i domini e codomini dei vari pezzi siano corretti. Dobbiamo quindi controllare che $\phi$ così definito sia effettivamente una mappa equivariante. Abbiamo
$$\phi \circ \rho_{\mathrm{Ind}}(g) (\xi \otimes v) =\phi( g \xi \otimes v)=\phi( \eta \otimes \rho(h) v)=\sigma(\eta) \widetilde{\phi}\rho(h) v=$$
dove $g \xi = \eta h$ e $\eta \in S$. Ora utilizziamo il fatto che $\widetilde{\phi}$ è un intrecciatore, per cui $\widetilde{\phi}(\rho(h)v) = \sigma(h) \widetilde{\phi}(v)$ e quindi
$$=\sigma(\eta) \sigma(h) \widetilde{\phi}(v) =\sigma(g) \sigma(\xi) \widetilde{\phi}(v) = \sigma(g) \phi(\xi \otimes v)$$
che conclude la dimostrazione. $\square$
Molto spesso, per reciprocità di Frobenius si intende semplicemente il seguente corollario:
Corollario. $\expval{\chi_{\mathrm{Ind} V}, \chi_W}_G = \expval{\chi_V, \chi_{\mathrm{Res} W}}_H$.
Dimostrazione. Segue dal teorema precedente insieme al fatto che $\mathrm{dim} \mathrm{Hom}(V,W)_G = \expval{\chi_V, \chi_W}_G$. $\square$
Possiamo anche dimostrare il corollario in maniera diretta. Utilizzando il risultato sul carattere della rappresentazione indotta che abbiamo calcolato in un precedente articolo, abbiamo
Dimostrazione. Esplicitamente abbiamo
\begin{align}
\expval{\chi_{\mathrm{Ind} V}, \chi_W}_G & = \frac{1}{\abs{G}} \sum_{g \in G}\chi_{\mathrm{Ind} V}(g)^* \chi_W(g) =\\
&=\frac{1}{\abs{G}} \sum_{g \in G} \pqty{ \frac{1}{\abs{H}} \sum_{s \in G}\chi_V(s^{-1} g s)^* \delta(s^{-1} g s \in H)} \chi_W(g)=\\
&=\frac{1}{\abs{G}} \frac{1}{\abs{H}} \sum_{g \in G} \sum_{s \in G} \chi_V(s^{-1} g s)^* \chi_W(s^{-1} g s) \delta(s^{-1} g s \in H)=
\end{align}
dove andando dalla seconda alla terza riga abbiamo usato il fatto che $\chi_W$ è un carattere di $G$ e quindi $\chi_W(s^{-1} g s)=\chi_W(g)$ poiché $s \in G$. Sommare su tutti i $g \in G$ è equivalente a sommare su tutti i $gs \in G$ per $s$ fissato; perciò
\begin{align}
&=\frac{1}{\abs{G}} \frac{1}{\abs{H}} \sum_{s \in G} \sum_{g \in G} \chi_V(s^{-1} g)^* \chi_W(s^{-1} g) \delta(s^{-1} g \in H)=\\
&=\frac{1}{\abs{G}} \frac{1}{\abs{H}} \sum_{s \in G} \sum_{g \in G} \chi_V(g)^* \chi_W(g) \delta(g \in H)=\\
&=\frac{1}{\abs{H}}\sum_{g \in G} \chi_V(g)^* \chi_W(g) \delta(g \in H)=\\
&=\frac{1}{\abs{H}}\sum_{h \in G} \chi_V(h)^* \chi_W(h) = \expval{\chi_V, \chi_{\mathrm{Res} W}}_H
\end{align}
dove abbiamo usato di nuovo il fatto che sommare su tutti i $g \in G$ è equivalente a sommare su tutti i $s^{-1} g \in G$ per $s$ fissato, e poi poiché la somma è indipendente da $s$ otteniamo semplicemente un fattore $\abs{G}$. $\square$