In un precedente articolo (di cui utilizziamo la notazione) abbiamo visto la rappresentazione indotta $\mathrm{Ind}^G_H$. In questo articolo ne vediamo la rappresentazione come matrice e ne calcoliamo il carattere.
Poiché come abbiamo visto la rappresentazione indotta ha dimensione $\mathrm{dim}\mathrm{Ind}^G_H V =\frac{\abs{G}}{\abs{H}} \mathrm{dim} V$, allora può essere scritta in termini della rappresentazione $\theta$ di $H$ su $V$ come una matrice a blocchi $\frac{\abs{G}}{\abs{H}} \times \frac{\abs{G}}{\abs{H}} $ in cui ogni blocco è $\mathrm{dim} V \times \mathrm{dim} V$.
Per calcolare gli elementi di matrice scegliamo una base di $\mathrm{Ind}^G_H V$. Come abbiamo visto, $\mathrm{Ind}^G_H V = \bigoplus_{\xi \in S} \xi \otimes V$ dove $S$ è un insieme di rappresentanti di $G/H$. Perciò una base è data da $\xi_i \otimes e_j$ dove gli $\{\xi_i\}=S$ e $e_j$ è una base di $V$. La rappresentazione indotta $\rho_{\mathrm{Ind}}$ agisce sulla base nel modo seguente:
$$\rho_{\mathrm{Ind}}(g) (\xi_i \otimes e_j) = g \xi_i \otimes e_j$$
Poiché $g \xi_i$ è un elemento di $G$, possiamo scrivere $g \xi_i = \xi_k h$ per un qualche $\xi_k \in S$ e $h \in H$. Perciò $h = \xi_k^{-1} g \xi_i$ e quindi
$$\rho_{\mathrm{Ind}}(g) (\xi_i \otimes e_j) = \xi_k h \otimes e_j = \xi_k \otimes \rho(h) e_j =\xi_k \otimes \theta(\xi_k^{-1} g \xi_i) e_j $$
Segue che in questa base la rappresentazione indotta ha matrice
$$\rho_{\mathrm{Ind}}(g) = \begin{pmatrix}
\theta(\xi_1^{-1} g \xi_1) & \theta(\xi_1^{-1} g \xi_2) & \cdots & \theta(\xi_1^{-1} g \xi_n)\\
\theta(\xi_2^{-1} g \xi_1) & \theta(\xi_2^{-1} g \xi_2) & \cdots & \theta(\xi_2^{-1} g \xi_n)\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
\theta(\xi_n^{-1} g \xi_1) & \theta(\xi_n^{-1} g \xi_2) & \cdots & \theta(\xi_n^{-1} g \xi_n)\\ \end{pmatrix}$$
dove $n = \abs{G}/\abs{H}$. Come abbiamo visto sopra, dato $g \xi_i$ esisterà un solo $\xi_k$ tale che $\xi_k^{-1} g \xi_i \in H$; perciò nella formula sopra non tutti gli elementi $\xi_k^{-1} g \xi_i \in H$; perciò nella matrice è sottinteso che $\theta(g) = 0$ se $g \not \in H$.
A questo punto è facile calcolare il carattere della rappresentazione indotta $\chi_{\mathrm{Ind}}$ in termini del carattere $\chi$ di $\theta$, ovvero semplicemente la traccia della matriciona a blocchi sopra:
$$\chi_{\mathrm{Ind}}(g) = \sum_{i=1}^n \chi(\xi_i^{-1}g \xi_i) \delta(\xi_i^{-1}g \xi_i \in H)$$
Notiamo che $\chi(\xi_i^{-1}g \xi_i) \neq \chi(g)$ perché $\chi$ è un carattere su $H$ ma non su $G$, e in generale $\chi(g)$ non sappiamo cosa significhi a meno che $g \in H$. Per trovare una formula un po’ più decente notiamo che però se $h \in H$ allora $\chi(h^{-1} \xi_i^{-1}g \xi_i h) = \chi(\xi_i^{-1}g \xi_i)$. In particolare l’elemento $\xi_i h$ è un elemento generico dell’$i$-esimo coinsieme $\xi_i H$ in $G/H$. Poiché i coinsiemi partizionano $G$ e sono tutti di dimensione uguale ad $\abs{H}$ abbiamo perciò
$$\chi_{\mathrm{Ind}}(g) = \frac{1}{\abs{H}} \sum_{s \in G} \chi(s^{-1}g s) \delta(s^{-1} g s \in H)$$
Notiamo che la funzione delta non è modificata, infatti $\xi_i^{-1}g \xi_i \in H$ se e solo se $h^{-1} \xi_i^{-1}g \xi_i h \in H$.