Supponiamo di avere un gruppo $G$ e un suo sottogruppo $H \leq G$. Data una rappresentazione $\rho$ di $G$ su uno spazio vettoriale $V$ abbiamo gratis una rappresentazione $\rho \lvert_H$ di $H$ sullo stesso spazio vettoriale $V$, data semplicemente da $\rho \lvert_H (h) = \rho(h)$ dato che $h \in H \leq G$. Questa rappresentazione, per ovvi motivi, è detta rappresentazione ristretta ed è denotata anche come $\mathrm{Res}^G_H V$.
Possiamo fare anche il contrario? Ovvero data una rappresentazione $\theta$ di $H \leq G$, è possibile sollevarla ad una rappresentazione $\rho$ di $G$? Chiaramente la risposta non può essere univoca e anche la domanda è un po’ ambigua; tuttavia esiste una risposta particolarmente utile, detta rappresentazione indotta. La definizione è abbastanza strana, ma diventa più naturale se ci familiarizziamo con il concetto di algebra di gruppo e di moduli sull’algebra, che abbiamo visto in un articolo precedente.
Abbiamo detto quindi che $H \leq G$ e $\theta$ è una rappresentazione di $H$ su uno spazio vettoriale $V$. Vogliamo utilizzare $\theta$ per costruire una qualche rappresentazione di $G$. Non so darvi un motivo intuitivo per le scelte che faremo, se non che poi troveremo che ha delle proprietà utili. La rappresentazione indotta $\rho$ è una rappresentazione di $G$, ed è spesso denotata con $\mathrm{Ind}^G_H V$. Per definire una rappresentazione ci servono due cose: uno spazio vettoriale $W$ e un’omomorfismo $\rho: G \to \GL(W)$. Definiamo prima lo spazio vettoriale; la rappresentazione indotta è definita sullo spazio vettoriale:
$$W = \C[G] \otimes_{\C[H]} V$$
Abbiamo già visto l’algebra del gruppo $\C[G]$ in un precedente articolo, a cui rimandiamo il lettore. Poiché sia $\C[G]$ che $V$ sono spazi vettoriali, nessuno si sorprenderà nel prendere il prodotto tensoriale tra i due. Gli elementi di $\C[G] \otimes_{\C[H]} V$ hanno la forma $x \otimes v$. La cosa più misteriosa è questo pedice $\C[H]$, che sta a indicare il fatto seguente: ovvero che per ogni $y \in \C[H] \subset \C[G]$ abbiamo
$$(x y) \otimes v \equiv x \otimes (\theta(y) v)$$
dove $\theta(y)$ è definito su $y \in C[H]$ su una base, ed estendendo linearmente, ovvero $\theta(\sum_{h \in H} y_h h)=\sum_{h \in H} y_h \theta(h)$. In altre parole, ogni elemento di $h$ va considerato equivalente alla sua azione su $V$ (data da $\theta$).
Questa stessa cosa può anche essere detta in maniera più formale, che ne permette una generalizzazione, anche se adesso non ci interessa: dati $H$ e $G$ abbiamo un omomorfismo $f: H \to G$ che in questo caso è dato semplicemente dall’inclusione. Questo omomorfismo induce un omomorfismo $F: \C[H] \to \C[G]$ dato da $f$ su una base di $\C[H]$ ed esteso linearmente. La condizione sopra è quindi riformulata come $(x_1 f(x_2)) \otimes v \equiv x \otimes (\Theta(y) v)$ dove $\Theta$ è l’estensione a $\C[H]$ di $\theta$.
Avendo definito lo spazio di rappresentazione, possiamo definire l’azione; che è in realtà molto semplice; ovvero $\rho : G \to W$ è definita da:
$$\rho(g) (x \otimes v) = (g x) \otimes v$$
dove appunto $g$ agisce per moltiplicazione sugli elementi di base di $\C[G]$, che sono appunto gli elementi di $G$. Dimostriamo che questa è effettivamente una rappresentazione:
Proposizione. La rappresentazione indotta è una rappresentazione di $G$ e la sua restrizione ad $H$ contiene la rappresentazione originale.
Dimostrazione. Lo spazio $\C[G] \otimes_{\C[H]} V$ è chiaramente uno spazio vettoriale, e dalla definizione della rappresentazione indotta $\rho$ è chiaro che $\rho(g_1 g_2) = \rho(g_1) \rho(g_2)$. Ora rimane da dimostrare cosa succede restringendo la rappresentazione ad $H$. Se $h \in H$ abbiamo
$$\rho(h) (1 \otimes v) = h \otimes v = 1 \otimes (\theta(h)v)$$
per la definizione dello spazio $\C[G] \otimes_{\C[H]} V$. Perciò restringendo lo spazio $\C[G] \otimes_{\C[H]} V$ agli elementi $x \otimes v$ con $x=1$ otteniamo uno spazio vettoriale isomorfo a $V$, e un’azione isomorfa alla rappresentazione originale su $V$. Notiamo tuttavia che l’azione di $\rho(h)$ su un elemento generico $x \otimes v$ non è semplice come nel caso sopra. $\square$
Sarebbe stato bello se la restrizione della rappresentazione indotta fosse stata la rappresentazione originale, ma ciò non può essere vero per questione di dimensione (la rappresentazione indotta è definita su uno spazio vettoriale di dimensione maggiore rispetto alla rappresentazione originale). La definizione che abbiamo appena dato di rappresentazione indotta è un po’ astratta, perciò vogliamo renderla più concreta. Il punto di partenza è “rimuovere” questa strana cosa della fattorizzazione dell’azione di $H$; infatti se $g = g_1 h$ allora come abbiamo visto $g \otimes v = g_1 \otimes \theta(h) v$, perciò nel primo termine del prodotto tensoriale abbiamo effettivamente solo gli elementi dei coinsiemi $G/H$. Più esplicitamente, abbiamo infatti il seguente risultato:
Proposizione. Sia $S$ un insieme di rappresentanti dei coinsiemi $G/H$. Allora $\C[G] \otimes_{\C[H]} V = \bigoplus_{\xi \in S} \xi \otimes V$ come spazi vettoriali.
Dimostrazione. In pratica abbiamo già dimostrato la prima parte. Un elemento generico $g \in G$ può essere scritto come $g= \xi h$ dove $h \in H$ e $\xi \in S$, e quindi per la definizione di $\C[G] \otimes_{\C[H]} V$ abbiamo $g \otimes v = \xi \otimes \theta(h) v \in \xi \otimes V$. Poiché i coinsiemi partizionano il gruppo, ogni $g$ corrisponde ad un unico $\xi$ e quindi la somma è diretta (cioè i vari fattori non hanno elementi non banali in comune). Avendo semplicemente riscritto lo spazio vettoriale in una maniera diversa, l’azione di $\rho(g)$ è la stessa. Notiamo però che gli spazi $\xi \otimes V$ non sono sottospazi invarianti di $\rho$, perché $g \xi$ può tranquillamente appartenere ad un diverso coinsieme; perciò questa decomposizione non è una decomposizione di rappresentazioni. $\square$
Nel prossimo articolo vedremo in maniera ancora più concreta come scrivere $\rho$ in forma matriciale nello spazio $\bigoplus_{\xi \in S} \xi \otimes V$. L’ultima proposizione implica il seguente corollario, ottenuto semplicemente calcolando la dimensione dello spazio a destra nella proposizione precedente:
Corollario. La dimensione della rappresentazione indotta è $\frac{\abs{G}}{\abs{H}}\mathrm{dim}(V)$.
Abbiamo anche altre proprietà utili, che non dimostriamo:
Proposizione. $\mathrm{Ind}^G_H (V_1 \oplus V_2) = (\mathrm{Ind}^G_H V_1) \oplus (\mathrm{Ind}^G_H V_2)$
Proposizione. Se $K \leq H \leq G$, allora $\mathrm{Ind}^G_K = \mathrm{Ind}^G_H (\mathrm{Ind}^H_K)$.
Per quanto riguarda un’altra proprietà importante delle rappresentazioni, cioè l’irriducibilità, non c’è nessuna relazione semplice tra l’irriducibilità di una rappresentazione e l’irriducibilità della sua rappresentazione indotta o ristretta. Per quanto riguarda la rappresentazione indotta, abbiamo il criterio di Mackey che non esploreremo oltre.
Il motivo per questa definizione di rappresentazione indotta è che, insieme alla rappresentazione ristretta formando un’aggiunzione (nel senso della teoria delle categorie) detta reciprocità di Frobenius, che vedremo in un prossimo articolo.