La normalizzazione della rappresentazione integrale della funzione delta

L’altro giorno mentre scrivevo un articolo mi sono incartato sulla questione della normalizzazione della rappresentazione integrale della funzione delta. Consideriamo la trasformata di Fourier:

$$\hat{f}(k) = \int_{\R} e^{2\pi i k x} f(x) \, dx$$

dove abbiamo fatto delle scelte specifiche per la normalizzazione dei vari elementi. Sappiamo che la funzione delta è definita come la funzione $\delta(x)$ (chiaramente è una distribuzione e non una funzione, ecc.) tale che per ogni funzione $f(x)$ abbiamo

$$\int_{\R} \delta(x) f(x)\, dx = f(0)$$

Possiamo perciò calcolarne la trasformata di Fourier, che è

$$\hat{\delta}(k) = \int_{\R} e^{2\pi i k x} \delta(x) \, dx = 1$$

Allora consideriamo l’integrale che ci da (a meno di una normalizzazione) la trasformata di Fourier inversa,

$$\int_{\R} e^{-2\pi i k x} \hat{f}(k) \, dk$$

Qual è la normalizzazione corretta di questo integrale? Ha appunto a che fare con la normalizzazione della funzione $\delta$. Ponendo $\hat{f}=\hat{\delta}$ sappiamo che dobbiamo recuperare la funzione delta a meno di qualche fattore di $\pi$ greco ecc. Ma qual è questo fattore esattamente? La risposta corretta è che

$$\int_{\R} e^{-2\pi i k x} \, dk = \delta(x)$$

Ma come sappiamo che il fattore di equivalenza è $1$ e non altro?

In una dimostrazione rigorosa, non ci sarebbe possibile utilizzare la funzione $\delta$, che appunto non è una funzione (anche se può essere resa rigorosa tramite la teoria delle distribuzioni). In pratica avremmo considerato una sequenza di funzioni vere e proprie $\delta_N(x)$ tali che “moralmente” approccino la funzione $\delta$ nel limite $N \to \infty$. In questa maniera ad esempio la definizione di funzione $\delta$ può essere resa rigorosa prendendo il limite fuori dall’integrale, ovvero avremmo

$$\lim_{N\to \infty} \int_{\R} dx \, f(x) \delta_N(x) = f(0) $$

Allora consideriamo appunto una tale approssimazione, in questo caso una Gaussiana:

$$\delta_N(x) \equiv \frac{N}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} N^2 x^2 }$$

Possiamo controllare esplicitamente che per $x = 0$ nel limite abbiamo $\delta_N(0) \to \infty$, mentre per $x \neq 0$, nel limite $\delta_N(x) \to 0$ come richiesto. Inoltre la funzione delta soddisfa certamente $\int dx\, \delta(x) = 1$ e quindi abbiamo normalizzato le $\delta_N(x)$ in modo tale che ciò sia vero per ogni $N$, ovvero

$$ \int_{-\infty}^{+\infty} dx \, \delta_N(x) = 1$$

Un altro integrale Gaussiano ci permette di calcolare la trasformata di Fourier delle $\delta_N$, ovvero

$$\hat{\delta}_N(k) = \int_{\R} e^{2\pi i k x} \delta_N(x) \, dx = e^{-\frac{2\pi^2}{N^2 } k^2}$$

Per $N \to \infty$, abbiamo $\hat{\delta}_N(k) \to 1$, che è infatti la trasformata di Fourier della funzione $\delta$.

Ora sappiamo che possiamo invertire la trasformata, ma non siamo sicuri della costante, ovvero

$$\int_{\R} e^{-2\pi i k x} \, dk = A \delta(x)$$

per un qualche $A$. Inserendo la delta regolarizzata e calcolando l’integrale esplicitamente troviamo che

$$\int_{\R} e^{-2\pi i k x}  \hat{\delta}_N(k)\, dk = \frac{N}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} N^2 x^2 } = \delta_N(x)$$

Per cui se immaginiamo di prendere il limite $N \to \infty$ da entrambi i lati, otteniamo appunto il risultato che volevamo, ovvero che nel senso appropriato,

$$\int_{\R} e^{-2\pi i k x} \, dk = \delta(x)$$

senza nessun fattore di $\pi$ o altro (questo per la normalizzazione che abbiamo scelto nell’esponente della trasformata). Sostituendo $2\pi k = u$ avremmo trovato invece

$$\int_{\R} e^{-i u x} \, dk = 2\pi \delta(x)$$

Chiaramente questa stessa argomentazione si può ripetere con altre approssimazioni della funzione $\delta$. Ad esempio vedete qui per un’altra prospettiva.