Consideriamo una funzione $f: \R \to \R$. Diciamo che $T$ è un periodo di $f$ (che è quindi periodica), se $f(t+T) = f(t)$. Chiaramente ciò implica anche che $f(t+nT)=f(t)$ per ogni $n \in\Z$. Inoltre se abbiamo due periodi $T_1$ e $T_2$, allora anche $T_1+T_2$ è un periodo. Perciò i periodi di $f$ formano un gruppo, e in particolare formano un sottogruppo di $\R$.
Perciò la domanda può anche essere formulata nella maniera seguente: quali sottogruppi di $\R$ sono isomorfi al gruppo dei periodi di una qualche funzione $f$? In un articolo precedente, abbiamo visto che i sottogruppi di $\R$ sono o isomorphi a $a \Z$ per un qualche $a$, oppure densi in $\R$. Nel primo caso abbiamo un solo periodo, che è appunto $a$. Funzioni del genere sono ad esempio il seno e il coseno.
Cosa possiamo dire riguardo all’altro caso? Una cosa semplice da dire è che una funzione $f$ è costante se e solo se gruppo dei periodi isomorfo ad $\R$. Altrimenti consideriamo una funzione ben nota come controesempio di molti teoremi in analisi, ovvero la funzione
$$f(x)= \begin{cases} 1 & x\,\,\, \mathrm{irrazionale} \\ 0 & x\,\,\, \mathrm{razionale}\end{cases}$$
Questa funzione è periodica e il suo gruppo dei periodi è isomorfo al gruppo $\Q$ dei numeri razionali. Infatti, per $r$ razionale, allora $x + r$ è razionale se $x$ è razionale, e irrazionale altrimenti. Più in generale possiamo estendere questa costruzione: dato un sottogruppo $A \leq \R$, consideriamo una funzione biettiva qualsiasi $g: \R/ A \to \R$, dove $\R/ A$ è il gruppo quoziente. Una funzione del genere esiste sempre per questioni di cardinalità. Possiamo quindi definire una funzione $f: \R \to \R$ ponendo $f(x) = g(x + A)$, che per costruzione ha gruppo dei periodi $A$. Perciò ogni sottogruppo di $\R$ può apparire come gruppo dei periodi di una funzione.
Tuttavia gli esempi che abbiamo fatto sono patologici. Possiamo quindi provare ad imporre delle ulteriori condizioni. Se ad esempio $f$ è continua, allora può avere un solo periodo (ovvero il gruppo dei periodi è isomorfo a $\Z$). Infatti in tal caso se il sottogruppo dei periodi di $f$ fosse denso, allora per la continuità la funzione deve essere periodica dappertutto e quindi dev’essere costante.
L’ipotesi di continuità può essere rilassata: infatti è sufficiente che la funzione sia continua in un solo punto perché abbia al massimo un solo periodo. Seguiamo questo post. Infatti consideriamo l’oscillazione della funzione $f$ nell’intervallo $I$, definita come:
$$\omega_f(I) = \sup_{x \in I} f(x) -\inf_{x \in I} f(x)$$
Questo concetto può essere utilizzato per definire la continuità. Infatti consideriamo un punto $x_0$ e l’intervallo $I=(x_0-\epsilon, x_0+\epsilon)$. Allora non è difficile dimostrare che $f$ è continua in $x_0$ se e solo se
$$ \lim_{\epsilon \to 0} \omega_f(I) = 0$$
L’oscillazione è quindi una maniera di quantificare “quanto” è discontinua una funzione. Ora poiché $f$ ha gruppo dei periodi denso, ha anche periodi arbitrariamente piccoli (infatti per la densità c’è sempre un periodo compreso tra $0$ e $1/n$ per ogni $n$). Ciò implica che l’immagine di ogni intervallo aperto è identica. Ne deduciamo che l’oscillazione $\omega_f(I)$ nell’intervallo $I$ è costante e indipendente da $\epsilon$. Perciò se $f$ è continua in un punto qualsiasi $x_0$, allora $\omega_f(I)$ dev’essere identicamente nulla e indipendente da $\epsilon$. Ciò implica che $f$ è costante.
Inoltre come dimostrato in J. Brzdek and A. Murenko, “On a conditional Golab-Schinzel equation”, Arch. Math. 84 (2005), 503-51, una funzione integrabile secondo Lebesgue che abbia periodi arbitrariamente piccoli allora è necessariamente costante quasi dappertutto.