Una rappresentazione proiettiva in meccanica quantistica

Abbiamo visto in passato il concetto di rappresentazione proiettiva, e ne abbiamo visti alcuni esempi. Qui mostriamo un esempio concreto in cui una rappresentazione proiettiva emerge naturalmente in un sistema di meccanica quantistica. Seguiamo questo articolo.

Consideriamo la teoria di una singola particella che vive nel in un cerchio, $S^1$, soggetta ad un “flusso magnetico” attraverso il cerchio. L’azione che descrive questo sistema è

$$L = \frac12 \dot{q}^2 + \frac{\theta}{2\pi} \dot{q}$$

dove $\theta$ è il flusso magnetico, ma è anche un esempio del cosiddetto “termine theta” in teoria dei campi. Poiché la particella è nel cerchio, $q \in [0, 2\pi)$ e dobbiamo identificare $q \sim q+2\pi$. Questo è anche il motivo per cui non possiamo ignorare l’ultimo termine nonostante sia una derivata totale: infatti poiché $q$ è una variabile compatta, allora

$$\frac{1}{2\pi} \int \dot q \in \Z$$

è quantizzato nei numeri interi. Ciò vuol dire anche che le teorie per $\theta$ e $\theta+2\pi$ differiscono nell’azione per un termine $2\pi n$ e quindi lasciano invariato $e^{i S}$ nell’integrale sui cammini: perciò hanno funzione di partizione identica.

A questo punto proviamo ad ottenere un’Hamiltoniana. Abbiamo il momento coniugato

$$\pi_q = \pdv{L}{\dot{q}} = \dot{q} + \frac{\theta}{2\pi}$$

E quindi l’Hamiltoniana è data da

$$H =\pi_q \dot q -L = \frac12 \dot{q}^2 = \frac12 \pqty{\pi_q -\frac{\theta}{2\pi}}^2$$

È interessante notare che in termini di $\dot q$, il valore di $\theta$ è irrilevante: ma siccome ci interessa sempre il momento coniugato, allora è importante. Nella teoria quantistica infatti abbiamo le relazioni canoniche di commutazione

$$[q, \pi_q] = i$$

e quindi possiamo realizzare l’Hamiltoniana facendola agire sullo spazio di Hilbert dei ket $\{\ket{q}\}$ per $q \in [0, 2\pi)$, e quindi in questa base il momento coniugato (come $x$ e $p$) può essere rappresentato dalla derivata, $\pi_q = -i\pdv{}{q}$.

Ora diagonalizziamo questa Hamiltoniana, e ciò si fa passando alla base di Fourier. Ovvero definendo gli stati $\ket{n}$ che hanno funzioni d’onda

$$\psi_n(q)=\expval{q|n} = \frac{e^{inq}}{\sqrt{2\pi}}$$

E quindi diagonalizzano la derivata,

$$-i\pdv{}{q} \psi_n(q)=-i (i n)\frac{e^{inq}}{\sqrt{2\pi}} = n \psi_n$$

Allora troviamo che diagonalizzano anche l’Hamiltoniana:

$$H \ket{n} = \pqty{n-\frac{\theta}{2\pi}}^2 \ket{n}$$

Lo spettro della teoria è invariante rispetto alla trasformazione $\theta \to \theta+2\pi$, perché possiamo riassorbirlo in $n$, mandando $n\to n+1$. Ovvero definiamo la trasformazione $U$ tale che

$$U \ket{n} = \ket{n+1}$$

Ovvero inserendo una base completa di stati abbiamo

$$U = \sum_{n \in \Z} \ket{n+1} \bra{n} $$

E quindi

$$U^\dagger =\sum_{n \in \Z} \ket{n} \bra{n+1}= \sum_{n \in \Z} \ket{n-1} \bra{n} = U^{-1}$$

dato che appunto $U^{-1} \ket{n} = \ket{n-1}$ come è evidente dalla definizione di $U$. Quindi abbiamo

$$U H_{\theta} U^{\dagger} = H_{\theta+2\pi}$$

Nella base originale, l’azione di $U$ sugli stati è molto semplice. Infatti

$$U \ket{q} = \sum_{n \in \Z} \ket{n+1} \expval{n | q} = \sum_{n \in \Z} e^{-i q n} \ket{n+1}  =e^{iq} \sum_{n \in \Z} e^{-i q n} \ket{n} = e^{iq} \ket{q}$$

dove abbiamo mandato $n \to n-1$ e poi abbiamo notato che $e^{-i q n} \ket{n}=\ket{n}\expval{n | q}$ usando poi la risoluzione dell’identità.

Inoltre notiamo che lo spettro è degenere solo in un punto speciale. Ovvero abbiamo una degenerazione tra gli stati $\ket{n}$ e $\ket{m}$ se

$$\pqty{n-\frac{\theta}{2\pi}}^2 =\pqty{m-\frac{\theta}{2\pi}}^2$$

Se prendiamo la radice positiva, allora otterremmo banalmente $n=m$, che non è interessante. Se al contrario prendiamo la radice negativa troviamo una degenerazione quando

$$n-\frac{\theta}{2\pi} =-m+\frac{\theta}{2\pi} \qquad\implies \qquad \theta=\pi(n+m)$$

Ovvero (tenendo conto della periodicità di $\theta$) quando $\theta=\pi$. Chiaramente qui avviene qualcosa di speciale. Ad esempio in questo caso lo spettro è $(n-\tfrac12)^2$ e quindi gli stati $n=0$ e $n=1$ hanno la stessa energia: ovvero lo stato fondamentale è degenere.

Ora consideriamo due simmetrie. La prima è una traslazione $T_\alpha$ che trasla la particella, ovvero

$$T_{\alpha} \ket{q} = \ket{q+\alpha}$$

che genera una simmetria $\U(1)$. L’altra simmetria è l’inversione $C$ che agisce come

$$C \ket{q} = \ket{-q}$$

La prima simmetria non è controversa: infatti è banalmente una simmetria della Lagrangiana. Al contrario la seconda operazione è una simmetria solo se $\theta=0, \pi$. Nel primo caso lo è banalmente, mentre nel secondo lo è perché $\theta=\pm \pi$ sono equivalenti fisicamente e lasciano la funzione di partizione invariata: anche se non la lagrangiana.

Nell’altra base abbiamo

$$T_{\alpha} \ket{n} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_0^{2\pi}dq\, \ket{q+\alpha}\expval{q | n} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_0^{2\pi}dq\, e^{iqn} \ket{q+\alpha} =e^{-in\alpha} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_0^{2\pi}dq\, e^{iqn} \ket{q}=e^{-in\alpha} \ket{n}$$

E anche

$$C \ket{n} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_0^{2\pi}dq\, e^{i qn} \ket{-q}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_0^{2\pi} dq\, e^{-i qn} \ket{q} = \ket{-n}$$

dove in entrambi i casi non abbiamo cambiato l’intervallo di integrazione perché è comunque $S^1$.

Ora consideriamo i due casi separatamente. A $\theta=0$, i due generatori di simmetria soddisfano la relazione

$$C T_\alpha C^{-1} = T_{-\alpha}$$

che è la relazione soddisfatta dai generatori del gruppo $\O(2)$ (una versione infinita della presentazione del gruppo diedrale). Non è difficile da vedere esplicitamente che infatti abbiamo (notiamo che $C=C^{-1}$)

$$CT_\alpha C \ket{n} = CT_\alpha\ket{-n} = e^{i n \alpha} C\ket{-n} =e^{i n \alpha} \ket{n} = T_{-\alpha} \ket{n}$$

Al contrario consideriamo $\theta=\pi$. In questo caso $C$ non è una vera e propria simmetria della teoria, ma lo è solo se la combiniamo con $U$, come abbiamo visto prima. Concretamente abbiamo

$$C H C \ket{n} = C H \ket{-n} = (-n-\tfrac12)^2 C\ket{-n} = (n+\tfrac12)^2 \ket{n} \neq H \ket{n}$$

Mentre invece se definiamo una simmetria combinata

$$\widetilde{C} \equiv U C $$

che agisce come

$$\widetilde{C} \ket{n} = \ket{-n+1}$$

che è anch’essa una $\Z_2$, allora abbiamo

$$\widetilde{C} H \widetilde{C} \ket{n} = \widetilde{C} H\ket{-n+1} = (-n+1-\tfrac12)^2 \widetilde{C} \ket{-n+1} = (n-\tfrac12)^2 \ket{n} = H \ket{n}$$

e quindi effettivamente commuta con $H$. Ora possiamo controllare se anch’essa genera il gruppo $\O(2)$. Abbiamo

$$\widetilde{C} T_\alpha \widetilde{C} \ket{n} = \widetilde{C} T_\alpha\ket{-n+1} = e^{-i (-n+1) \alpha} \widetilde{C}\ket{-n+1} =e^{-i \alpha} e^{i n \alpha} \ket{n} =e^{-i \alpha} T_{-\alpha} \ket{n}$$

Ovvero soddisfano la stessa relazione di prima a meno di una fase,

$$\widetilde{C} T_\alpha \widetilde{C} = e^{-i \alpha} T_{-\alpha}$$

Questa è pertanto una rappresentazione proiettiva. La fase può anche essere interpretata come un nuovo elemento centrale $I_{\alpha} \equiv e^{-i\alpha}$ che commuta con gli altri generatori. Abbiamo quindi trovato un’estensione centrale del gruppo di simmetria $\O(2)$, come ci aspettavamo.

La cosa ovvia da fare a questo punto sarebbe di ridefinire $T$ in modo da includere la fase. Ponendo infatti

$$\widetilde{T}_{\alpha} \equiv e^{i\alpha/2} T_{\alpha}$$

allora abbiamo

$$\widetilde{C} \widetilde{T}_\alpha \widetilde{C} = \widetilde{T}_{-\alpha}$$

Il prezzo che paghiamo tuttavia è che a questo punto abbiamo $\widetilde{T}_{2\pi} = -\widetilde{T}_{0}$ mentre invece solo $\widetilde{T}_{4\pi} = \widetilde{T}_{0}$. Un po’ come succede per gli spinori. Nel gruppo $\O(2)$ i punti $0$ e $2\pi$ sono lo stesso punto e quindi $\widetilde{T}$ non può essere una rappresentazione di $\O(2)$. Al contrario sarà una rappresentazione del rivestimento doppio di $\O(2)$, che è noto come $\mathrm{Pin}(2)$, un gruppo che avevamo incontrato anche prima.