Abbiamo visto in un precedente articolo che cos’è una rappresentazione proiettiva di un gruppo. Abbiamo visto anche due esempi concreti, per $\U(1)$ e per $\Z_2 \times \Z_2$. In questo articolo vediamo invece una costruzione arbitraria che vale per un gruppo finito qualsiasi. Non è molto naturale, ma funziona.
Dato un gruppo qualsiasi $G$, abbiamo l’algebra del gruppo $\C[G]$ che è lo spazio vettoriale complesso di dimensione $\abs{G}$ con elementi $x \in \C[G]$ della forma $\ket{x} = \sum_{g\in G} x_g \ket{g}$, dove $\ket{g}$ è un elemento di base ortonormale. Abbiamo quindi la rappresentazione regolare sinistra $L_g$ che agisce su una base $\ket{h}$ come
$$L_g \ket{h} = \ket{gh}$$
dove $gh$ è semplicemente la moltiplicazione in $G$. Su un elemento generico invece abbiamo
$$L_g \ket{x} = \sum_{h\in G} x_h \ket{gh} = \sum_{k \in G} x_{g^{-1} k} \ket{k}$$
Questa è una vera e propria rappresentazione di $G$. Possiamo infatti facilmente controllare che $L_g L_h = L_{gh}$ e inoltre $L_g^\dagger = L_{g}^{-1} = L_{g^{-1}}$.
Come matrice, $L_g$ ha dimensione $\abs{G} \times \abs{G}$ ed ha elementi di matrice dati da
$$(L_g)_{h,k} = \bra{h} L_g \ket{k} = \expval{h | g k} = \delta_{h k^{-1},g}$$
Per ottenere la rappresentazione proiettiva modifichiamo $L$ in maniera apposita. Ovvero definiamo un nuovo operatore $\widetilde{L}_g$ che è una leggera modifica rispetto ad $L$, ovvero su una base agisce come
$$\widetilde{L}_g \ket{h} \equiv \omega(g,h) \ket{gh} $$
dove $\omega \in \U(1)$ è (per ora) una fase qualsiasi. Per vedere se $\widetilde{L}$ è una rappresentazione, calcoliamo
$$\widetilde{L}_g \widetilde{L}_{g’} \ket{h} = \omega(g’,h) \widetilde{L}_g \ket{g’h} =\omega(g’,h) \omega(g, g’h) \ket{g g’h}$$
Mentre invece
$$\widetilde{L}_{gg’} \ket{h} = \omega(gg’, h) \ket{g g’ h}$$
Perciò abbiamo
$$\widetilde{L}_g \widetilde{L}_{g’} = \frac{\omega(g’,h) \omega(g, g’h)}{\omega(gg’, h)} \widetilde{L}_{gg’}$$
Questa espressione può essere semplificata notando che $\widetilde{L}_g$ essendo semplicemente una matrice deve rimanere associativa; come avevamo visto nel precedente articolo ciò implica che $\omega$ è un cosiddetto cociclo, ovvero soddisfa
$$\omega(h,k) \omega(g,hk) = \omega(g,h) \omega(gh,k)$$
Applicata alla formula sopra, otteniamo
$$\widetilde{L}_g \widetilde{L}_{g’} =\omega(g,g’)\widetilde{L}_{gg’}$$
Perciò dato un cociclo qualsiasi $\omega$, abbiamo ottenuto una rappresentazione proiettiva $\widetilde{L}$. Se il cociclo è banale, allora la rappresentazione è equivalente ad $L$, altrimenti non lo è.