Per i gruppi abeliani abbiamo la dualità di Pontryagin, per cui le rappresentazioni irriducibili di un gruppo abeliano $G$ formano anch’esse un gruppo abeliano, detto duale di Pontryagin $\hat{G}$. In particolare abbiamo i seguenti gruppi duali:
| $G$ | $\hat{G}$ |
| $\R$ | $\R$ |
| $\Z_N$ | $\Z_N$ |
| $\U(1)$ | $\Z$ |
| $\Z$ | $\U(1)$ |
L’operazione di composizione di due elementi nel gruppo è il prodotto tensoriale. Intuitivamente ciò funziona per un gruppo abeliano perché le rappresentazioni irriducibili sono tutte unidimensionali (ciò è esatto per i gruppi finiti/compatti, per $\R$ è un po’ più complesso) e, come abbiamo visto in un precedente articolo, il prodotto tensoriale per una rappresentazione unidimensionale preserva l’irriducibilità.
Il gruppo duale è lo spazio in cui vive la trasformata di Fourier su $G$ e infatti la dualità di Pontryagin ha importanti applicazioni in analisi. In generale, la trasformata di Fourier su gruppi (finiti/compatti) non-Abeliani si basa sul teorema di Peter-Weyl, secondo cui tutti gli elementi di matrice delle rappresentazioni irriducibili del gruppo formano una base per lo spazio delle funzioni sul gruppo. Il problema è che se il gruppo non è abeliano, allora il prodotto tensoriale di due rappresentazioni non è una rappresentazione irriducibile. Perciò il “duale” in questo caso non forma un gruppo e la dualità di Pontryagin non funziona.
La dualità di Tannaka è una versione della dualità di Pontryagin valida per gruppi arbitrari, ma richiede dei concetti più complicati. In pratica afferma che un gruppo può essere ricostruito dalla categoria delle sue rappresentazioni. Questa idea generalizza la dualità di Pontryagin, secondo cui un gruppo abeliano può essere ricostruito dal gruppo delle sue rappresentazioni irriducibili. Abbiamo già visto in un precedente articolo il concetto di categoria e di funtore e in un altro quello di trasformazione naturale, dove abbiamo anche incontrato la categoria delle rappresentazioni di un gruppo.
In questo articolo vediamo come funziona in dettaglio nel caso in cui $G$ è un gruppo finito. Come al solito, questi risultati possono essere estesi anche al caso dei gruppi compatti. Abbiamo il seguente risultato:
Teorema. (Dualità di Tannaka) Sia $G$ un gruppo finito e $F: \mathbf{\mathrm{Rep}}_G \to \mathbf{\mathrm{Vet}}_{\C}$ il corrispondente funtore sbadato. Allora il gruppo $\mathrm{End}_{\otimes}(F)$ delle transformazioni naturali monoidali è isomorfo a $G$.
Abbiamo già visto che esiste un funtore sbadato $F: \mathbf{Rap}_G \to \mathbf{Vet}_\C$ che si dimentica il fatto che gli spazi vettoriali e gli intrecciatori in $\mathbf{Rap}_G$ siano rappresentazioni di un certo gruppo. Dobbiamo applicare il funtore sbadato alla categoria delle rappresentazioni perché altrimenti sapremmo già implicitamente qual è il gruppo. In questo caso abbiamo semplicemente alcuni spazi vettoriali e delle mappe lineari tra loro, che “segretamente” corrispondono rispettivamente alle rappresentazioni di un gruppo e agli intrecciatori tra rappresentazioni. Queste informazioni sono sufficienti per ricostruire le trasformazioni naturali monoidali, che, voilà, formano un gruppo isomorfo a quello originale.
Dimostrazione.Per dimostrare l’isomorfismo tra gruppi dobbiamo definire una mappa $f: G \to \mathrm{End}_{\otimes}(F)$ e dimostrare che è un omomorfismo biettivo. In particolare, un elemento $f(g) \in \mathrm{End}_{\otimes}(F)$ sarà una trasformazione naturale e quindi avrà componenti $f(g)_{(V,\rho)}: V \to V$. C’è un’unica scelta naturale per questa mappa, ovvero $f(g)_{(V,\rho)} v = \rho(g) v$. Poiché i morfismi sono intrecciatori di rappresentazioni, abbiamo $\phi \circ f(g)_{V} = f(g)_W \circ \phi$ per ogni morfismo $\phi: V \to W$ e quindi $f$ è una mappa naturale. È anche chiaro che $f$ è monoidale, perché preserva i prodotti tensoriali e la rappresentazione banale. Inoltre è chiaro che $f$ è un omomorfismo di gruppi.
Rimane quindi da dimostrare che $f$ è biettiva. Prima di tutto dimostriamo l’iniettività. Supponiamo che $f(g)=f(h)$. Allora ciò vuol dire che per ogni rappresentazione $(V,\rho)$ abbiamo $\rho(g) v = \rho(h) v$ per ogni $v \in V$. Ciò sarà quindi vero in particolare per la rappresentazione regolare, in cui $V=\C[G]$ e $\rho(g) \ket{k} = \ket{gk}$ dove $\{\ket{k}\}$ con $k \in G$ è una base di $\C[G]$. Perciò scegliendo $k=1$ la condizione $\rho(g) v = \rho(h) v$ diventa $\ket{g}=\ket{h}$ e quindi $g=h$. Ora procediamo a dimostrare la suriettività, che è più complicata.
Supponiamo di avere una trasformazione $\sigma \in \mathrm{End}_{\otimes}(F)$. Vogliamo trovare un $g \in G$ tale che $f(g)=\sigma$. Procediamo con calma. Innanzitutto abbiamo il componente $\sigma_{\C[G]}$ della trasformazione sulla rappresentazione regolare data dall’algebra del gruppo. Applicando la trasformazione all’identità (che è un elemento dello spazio vettoriale $\C[G]$) otteniamo un altro elemento in $\C[G]$:
$$\ket{\psi} \equiv \sigma_{\C[G]}(\ket{1})$$
In generale $\ket{\psi} = \sum_{g \in G} \psi(g) \ket{g}$ è una combinazione lineare di elementi di $G$. Vogliamo dimostrare che in realtà è esso stesso un elemento di base, cioè solo uno degli $\psi(g)$ è non zero. Quindi $\ket{\psi}=\ket{g}$ per un qualche $g \in G$ e avremo $f(g) = \sigma$.
Innanzitutto dimostriamo che $\ket{\psi} \neq 0$. Definiamo un intrecciatore banale $\varphi: \C[G] \to \C$ su una base ponendo $\varphi(\ket{g})=1$ e quindi su una combinazione lineare
$$\varphi(\ket{\psi}) = \sum_{g \in G} \psi(g)$$
Poiché $\varphi$ è un intrecciatore e $\sigma$ una trasformazione naturale, abbiamo
$$\varphi \circ \sigma_{\C[G]} = \sigma_{\C} \circ \varphi = \varphi$$
dove l’ultima proprietà è dovuta al fatto che $\sigma$ è monoidale. Perciò abbiamo
$$1 = \varphi(\ket{1}) = \varphi \circ \sigma_{\C[G]}(\ket{1}) = \varphi(\ket{\psi}) = \sum_{g \in G} \psi(g)$$
Perciò $\ket{\psi} \neq 0$. Ora dimostriamo che effettivamente $\ket{\psi}$ è un elemento di base. Definiamo la mappa $\Delta: \C[G] \to \C[G] \otimes \C[G]$ sugli stati di base ponendo $\Delta(\ket{g})=\ket{g} \otimes \ket{g}$ ed estendendo linearmente. Notiamo che sia $\C[G]$ che $\C[G] \to \C[G]$ sono rappresentazioni di $G$ e $\Delta$ è un intrecciatore di rappresentazioni. Perciò poiché $\sigma$ è naturale e monoidale abbiamo su una base
$$\Delta(\sigma_{\C[G]}(\ket{g})) = \sigma_{\C[G] \otimes \C[G]}(\Delta(\ket{g}))= \sigma_{\C[G] \otimes \C[G]}(\ket{g} \otimes \ket{g}) =\sigma_{\C[G]}(\ket{g}) \otimes \sigma_{\C[G]}(\ket{g})$$
Perciò applicando questa formula al caso $g=1$ abbiamo
$$\Delta(\ket{\psi}) =\ket{\psi} \otimes \ket{\psi}$$
Espandendo da entrambi i lati abbiamo
$$\sum_{g \in G} \psi(g) \ket{g} \otimes \ket{g} = \sum_{g,h \in G} \psi(g) \psi(h) \ket{g} \otimes \ket{h}$$
L’unica maniera di soddisfare questa equazione è che per $g \neq h$ dobbiamo avere $\psi(g)\psi(h)=0$ e per $g=h$ dobbiamo avere $\psi(g)^2=\psi(g)$. Quest’ultima equazione ci dice che $\psi(g)=0,1$ per ogni $g$. Inoltre sappiamo che non tutti gli $\psi(g)$ sono nulli, perché $\ket{\psi} \neq 0$. Allora esiste uno $g_\star$ tale che $\psi(g_\star)=1$. Ma allora poiché dobbiamo avere $\psi(g_\star)\psi(h)=0$ per $h \neq g_\star$, allora $\psi(h)=0$ per ogni $h \neq g_\star$. Perciò $\ket{\psi} = \ket{g_\star}$ per un qualche $g_\star \in G$.
Seguendo il ragionamento sopra allora rimane da dimostrare che $f(g_\star) = \sigma$ dove $\ket{g_\star} = \sigma_{\C[G]}(\ket{1})$ per $g_\star \in G$. Come abbiamo già visto una trasformazione naturale è determinata dai suoi componenti sulle rappresentazioni irriducibili di $G$, e poiché la rappresentazione regolare contiene tutte le rappresentazioni irriducibili di $G$, vale lo stesso dimostrare che $f(g_\star) = \sigma$ sul loro componente uguale alla rappresentazione regolare. A tal scopo, come ormai siamo abituati, definiamo una famiglia di intrecciatori $M_{\ket{x}}: \C[G] \to \C[G]$ in cui per ogni $\ket{x} \in \C[G]$, $M_{\ket{x}}$ è un intrecciatore della rappresentazione regolare su stessa definito dalla moltiplicazione sull’algebra da destra, ovvero
$$M_{\ket{x}} \ket{y} = \ket{y} \ket{x} \equiv \sum_{g, h \in G} y_g x_h \ket{gh}$$
dove $gh$ è la moltiplicazione in $G$ e moralmente abbiamo definito il prodotto nell’algebra $\ket{g}\ket{h}=\ket{gh}$. Non è difficile vedere che per $\ket{x}$ fissato, $M_{\ket{x}}$ è un intrecciatore della rappresentazione regolare (sinistra) $L$, che agisce su una base come $L_g \ket{h} = \ket{g h}$. Poiché $\sigma$ è naturale e $f_{\C[G]}$ è la rappresentazione regolare, abbiamo quindi
\begin{align*}
f_{\C[G]}(g_\star)(\ket{x}) &= \sum_{g \in G} x_g \ket{g_\star g} =\\
&=M_{\ket{x}} \ket{g_\star} =\\
&=M_{\ket{x}} \sigma_{\C[G]}(\ket{1}) =\\
&=\sigma_{\C[G]}(M_{\ket{x}}\ket{1}) =\\
&=\sigma_{\C[G]}(\ket{x})
\end{align*}
dove abbiamo usato il fatto che $M_{\ket{x}}\ket{1} = \ket{x}$. Ciò conclude la dimostrazione. $\square$