Abbiamo visto in un precedente articolo il concetto di categoria e di funtore, e anche il concetto di trasformazione naturale. Dato un gruppo $G$ le sue rappresentazioni formano una categoria $\mathbf{Rap}_{G}$ dove gli oggetti sono le rappresentazioni di $G$ e i morfismi sono gli intrecciatori delle rappresentazioni.
Poiché ogni rappresentazione è definita su uno spazio vettoriale, abbiamo anche un funtore sbadato $F: \mathbf{Rap}_{G} \to \mathbf{Vet}_{\C}$ che semplicemente manda una rappresentazione $(V,\rho)$ allo spazio vettoriale $V$ e un intrecciatore a esso stesso, visto però come mappa lineare tra spazi vettoriali. In altre parole, il funtore semplicemente si dimentica che la categoria ha a che fare con un gruppo $G$.
È particolarmente interessante considerare le trasformazioni naturali del funtore $F$ su stesso. Le trasformazioni naturali $F \Rightarrow F$ formano il gruppo $\mathrm{End}(F)$. Per definizione di trasformazione naturale, abbiamo un componente $\sigma_{(V,\rho)}$ di una trasformazione naturale $\sigma \in \mathrm{End}(F)$ per ogni rappresentazione $(V,\rho)$ di $G$. Inoltre $\sigma_{(V,\rho)}: F(V) \to F(V)$, cioè è una mappa lineare sullo spazio vettoriale $V$, che ci siamo dimenticati proviene da una rappresentazione.
Queste trasformazioni hanno alcune proprietà interessanti:
Lemma. Se $\sigma: F \Rightarrow F$ è una trasformazione naturale, allora:
- $\sigma_{V\oplus W}=\sigma_V \oplus \sigma_W$;
- Se $V$ è una sottorappresentazione di $W$ allora $\sigma_W \lvert_V = \sigma_V$.
Dimostrazione. Consideriamo la proiezione $\pi_V: V \oplus W \to V$ data da $\pi(v \oplus w)=v$. Allora è facile vedere che $\pi_V$ è un intrecciatore. Perciò poiché $\sigma$ è naturale, abbiamo $\pi_V \circ \sigma_{V\oplus W} = \sigma_{V}\circ\pi_V$, ovvero $\pi_V(\sigma_{V\oplus W}) = \sigma_V$. Alla stessa maniera, abbiamo $\pi_W(\sigma_{V\oplus W}) = \sigma_W$, perciò su $V \oplus W$ abbiamo $\sigma_{V\oplus W} = \sigma_{V} \oplus \sigma_{W}$.
In maniera simile, se $V \subset W$ allora abbiamo la mappa $i: V\to W$ data dall’inclusione, cioè $i(v)=v$. Poiché $V$ è una sottorappresentazione di $W$, allora $i$ è un intrecciatore. Poiché $\sigma$ è naturale, abbiamo $i \circ \sigma_{V} = \sigma_{W} \circ i$, ma $i \circ \sigma_{V} = \sigma_V$ e $\sigma_{W} \circ i = \sigma_W \lvert_V$. $\square$
Da questo lemma ricaviamo un importante corollario:
Corollario. Una trasformazione naturale è determinata dai suoi componenti sulle rappresentazioni irriducibili di $G$.
Tra le trasformazioni naturali, ne esistono alcune che hanno delle proprietà ancor più desiderabili, che sono dette monoidali. Diciamo che una trasformazione naturale $\sigma: F \Rightarrow F$ è monoidale se preserva il prodotto tensoriale e la rappresentazione banale, ovvero
- $\sigma_{V \otimes W} = \sigma_V \otimes \sigma_W$;
- $\sigma_{\C}=\mathrm{id}_\C$.
Le trasformazioni naturali monoidali formano il gruppo $\mathrm{End}_{\otimes}(F)$. Questo trasformazioni sono particolarmente utili, perché, come vedremo in un prossimo articolo, $\mathrm{End}_{\otimes}(F) \cong G$ (la cosiddetta dualità di Tannaka).