In matematica si sente spesso dire che una certa operazione è “naturale”. La teoria delle categorie permette di formalizzare questa nozione. Abbiamo già visto cos’è una categoria e cos’è un funtore. Oggi vediamo cos’è una trasformazione naturale.
Supponiamo di avere due categorie $\mathbf{C}$ e $\mathbf{D}$ e due funtori tra le due, ovvero $F: \mathbf{C} \to \mathbf{D}$ e $G: \mathbf{C} \to \mathbf{D}$. Allora una trasformazione naturale tra $F$ e $G$, denotata con $F \Rightarrow G$, è una famiglia di morfismi $\sigma_X : F(X) \to G(X)$, uno per ogni oggetto $X \in \mathbf{X}$, tale che per ogni morfismo $f: X \to Y$ di $\mathbf{C}$ abbiamo
$$\sigma_Y \circ F(f) = G(f) \circ \sigma_X $$
Graficamente, ciò vuol dire che il seguente diagramma commuta:
$$\require{AMScd}
\begin{CD}
F(X) @>{\sigma_X}>> G(X);\\
@V{F(f)}VV @V{G(f)}VV \\
F(Y) @>{\sigma_Y}>> G(Y);
\end{CD}$$
In altre parole $\sigma$ è un “morfismo tra funtori”. Il morfismo $\sigma_X$ per un $X$ specifico è detto componente della trasformazione naturale $\sigma$ sull’oggetto $X$.
L’esempio canonico di trasformazione naturale è l’abelianizzazione. Abbiamo già visto che abbiamo un funtore $F: \mathbf{Grp} \to \mathbf{Ab}$ che manda un gruppo alla sua abelianizzazione. Ma poiché ogni gruppo abeliano è un gruppo possiamo anche vedere questo funtore come un funtore $F:\mathbf{Grp} \to \mathbf{Grp}$ (in altre parole abbiamo composto $F$ con il funtore sbadato che si dimentica che il gruppo è abeliano). Perciò abbiamo due categorie $\mathbf{Grp}$ e $\mathbf{Grp}$ e due funtori tra le due categorie: uno è il funtore $F$ (abelianizzazione), mentre l’altro è il funtore identità. Una mappa naturale in questo caso è la proiezione canonica $\pi$ i cui componenti sono le proiezioni canoniche $\pi_G: G \to G/[G,G]$ dal gruppo al suo quoziente.