Un campo della matematica sempre più importante è la teoria delle categorie.
Una categoria è composta da:
- una classe di oggetti.
- una classe di morfismi tra gli oggetti. Ogni morfismo ha un oggetto di partenza (diciamo $X$) e uno di arrivo (diciamo $Y$) e scriviamo $X\to Y$.
- un’operazione detta composizione di morfismi. Dato un morfismo $f: X \to Y$ e un morfismo $g: Y \to Z$ esiste anche un morfismo $g \circ f: X \to Z$. La composizione dev’essere associativa.
- Per ogni oggetto $X$ esiste il morfismo identità $\mathrm{id}: X \to X$ tale che $\mathrm{id} \circ g = g$ e $f\circ\mathrm{id} = f$.
Abbiamo diversi esempi di categorie:
- Abbiamo ad esempio la categoria $\mathbf{Ins}$ degli insiemi, dove i morfismi sono semplicemente funzioni tra insiemi.
- La categoria $\mathbf{Grp}$ dei gruppi finiti dove i morfismi sono omomorfismi tra gruppi. Alla stessa maniera abbiamo anche la categoria $\mathbf{Ab}$ dei gruppi abeliani.
- La categoria $\mathbf{Vet}_{\C}$ degli spazi vettoriali su $\C$ dove i morfismi sono mappe lineari. Alla stessa maniera possiamo formare anche la categoria $\mathbf{Rap}_{G}$ delle rappresentazioni di $G$, dove i morfismi sono intrecciatori delle rappresentazioni.
- Abbiamo anche esempi più inusuali. Possiamo vedere un gruppo qualsiasi $G$ come una categoria con un solo elemento $\star$; i morfismi sono tutti della forma $\star \to \star$ e sono dati dagli elementi del gruppo; la composizione è la moltiplicazione nel gruppo.
- Un altro esempio inusuale è la categoria i cui gli oggetti sono gli elementi di un insieme e i morfismi sono un ordine parziale tra gli oggetti. Cioè c’è un morfismo $x \to y$ se e solo se $x \leq y$.
Questi esempi ci danno l’idea di come il concetto di categoria possa incorporare strutture matematiche anche molto diverse. A questo punto ci interessa studiare cosa queste strutture hanno in comune. In particolare, quali strutture hanno categorie formalmente identiche? Ci serve una nozione di “mappa tra categorie” e infatti abbiamo:
Definizione. Un funtore è tra due categorie è una mappa tra gli oggetti e i morfismi delle due categorie compatibile con la composizione.
In altre parole un funtore $F: \mathbf{A}\to \mathbf{B}$ tra due categorie $\mathbf{A}$ e $\mathbf{B}$ associa ad ogni oggetto $X$ di $\mathbf{A}$ un oggetto $F(X)$ di $\mathbf{B}$, e a ogni morfismo $f: X \to Y$ in $\mathbf{A}$ un morfismo $F(f): F(X) \to F(Y)$ in $\mathbf{B}$ tale che $F(f \circ g)=F(f) \circ F(g)$.
Diciamo che un funtore è sbadato se l’unica cosa che fa è dimenticarsi parte della struttura della categoria di partenza. Abbiamo diversi esempi di funtori:
- Il funtore $F: \mathbf{Grp} \to \mathbf{Ins}$ che manda il gruppo $F(G)=G$ dove ora $G$ è semplicemente un insieme, e $F(f)=f$ dove un omomorfismo tra gruppi $f$ è mandato semplicemente ad una funzione tra insiemi. Questo funtore altro non fa se non “dimenticare” la struttura di gruppo degli oggetti in $\mathbf{Grp}$, e quindi è un funtore sbadato.
- Il funtore $F: \mathbf{Grp} \to \mathbf{Ab}$ che manda un gruppo $G$ alla sua abelianizzazione $F(G) = G / [G,G]$, concetto che abbiamo visto in un precedente articolo. In termini di morfismi, se $f: G \to H$ è un omomorfismo di gruppi, allora $F(f): G/[G,G] \to H/[H,H]$ è un omomorfismo di gruppi abeliani definito da $F(f)(g[G,G]) = f(g)[H,H]$. Possiamo controllare che è ben definito, ecc.
- Il funtore $F$ che associa ad ogni spazio topologico il suo gruppo fondamentale è un funtore tra la categoria degli spazi topologici e la categoria dei gruppi.
- Il funtore $F: \mathbf{Vet}_\C \to \mathbf{Vet}_\C$ sulla categoria degli spazi vettoriali che assegna ad ogni spazio vettoriale il suo duale e ad ogni mappa lineare la sua mappa duale.
- Altri esempi di funtori sbadati sono il funtore $\mathbf{Ab} \to \mathbf{Grp}$ che semplicemente dimentica che il gruppo è abeliano; oppure il funtore $\mathbf{Vet}_\C \to \mathbf{Ab}$ che semplicemente dimentica il fatto che uno spazio vettoriale ha la moltiplicazione per scalari e quindi rimane solo un gruppo abeliano; oppure il funtore $\mathbf{Rap}_G \to \mathbf{Vet}_\C$ tra le rappresentazioni di un gruppo $G$ e gli spazi vettoriali, che semplicemente dimentica l’azione del gruppo sullo spazio vettoriale.
- Abbiamo visto che un gruppo $G$ può essere visto come una categoria con un solo oggetto. Allora abbiamo un funtore $F:G \to \mathbf{Ins}$ che assegna all’unico oggetto $\star$ in $G$ un insieme. Il funtore altro non è se non un’azione del gruppo $G$ su un insieme. Alla stessa maniera una rappresentazione di $G$ può essere vista come un funtore $F:G \to \mathbf{Vet}_\C$.
- Dato uno spazio vettoriale $U$, il prodotto tensoriale $V \to U \otimes V$ è un funtore $F: \mathbf{Vet}_\C \to \mathbf{Vet}_\C$, dove ad ogni morfismo $f: V \to W$ assegniamo un morfismo $F(f): U \otimes V \to U \otimes W$ tale che $F(f)(u \otimes v) = u \otimes f(v)$.
Nei prossimi articoli utilizzeremo questi concetti in varie maniere.