Abbiamo visto in un articolo precedente il concetto di forma complessa per uno spazio vettoriale reale. Abbiamo anche visto che dato uno spazio vettoriale reale $V$ è possibile definire la sua complessificazione come lo spazio vettoriale reale $V \oplus V$ insieme alla struttura complessa canonica $J$ definita da
$$J(u,v) =(-v,u)$$
dove moralmente $(u,v) \sim u + i v$ e $J$ altro non è se non la moltiplicazione per $i$.
In questo articolo consideriamo il problema opposto, ovvero quello di vedere uno spazio vettoriale complesso come complessificazione di uno spazio vettoriale reale.
Dato uno spazio vettoriale complesso $V$ di dimensione complessa $n$ è possibile anche vederlo come uno spazio vettoriale reale di dimensione reale $2n$. Banalmente data una base vettoriale complessa $\vec{z}_i$ (con $n$ elementi) possiamo vedere $V$ come lo spazio vettoriale reale spannato dalla base $\{ \vec{x}_i, i \vec{y}_i \}$ dove $\vec{z}_i =\vec{x}_i + i \vec{y}_i $.
Tuttavia questa non è l’unica possibilità. Inoltre vorremmo considerare il problema in maniera più algebrica senza fare riferimento ad una base. Allora diamo la definizione seguente:
Proposizione. Dato uno spazio vettoriale complesso $V$, una struttura reale $\lambda$ è un’involuzione antilineare $\lambda: V\to V$.
Un’involuzione è una mappa che applicata due volte è l’identità, ovvero $\lambda^2= I$. Una mappa antilineare soddisfa $\lambda(z \vec{v}) = z^* \lambda(\vec{v})$, dove $z^*$ è il coniugato complesso di $z$, mantenendo comunque la proprietà $\lambda(\vec v + \vec w) = \lambda(\vec v) + \lambda(\vec w)$.
Moralmente $\lambda$ è una scelta di definizione per la coniugazione complessa su $V$, compatibile con la coniugazione complessa su $\C$.
Data una struttura reale $\lambda$ possiamo identificare un sottospazio $U \subset V$ che è un sottospazio vettoriale reale dato dai vettori fissati da $\lambda$, ovvero un vettore $\vec v \in V$ è in $U$ se e solo se $\lambda(\vec{v}) = \vec{v}$. Appunto essendo $\lambda$ moralmente una scelta di coniugazione complessa, i vettori “reali” sono quelli invarianti rispetto alla coniugazione.
In generale ogni vettore complesso $\vec{v}$ può essere separato nella sua parte reale e immaginaria,
$$\vec{v} = \underbrace{\frac{\vec{v} + \lambda(\vec{v})}{2}}_{\equiv \vec{v}_+} + \underbrace{\frac{\vec{v} -\lambda(\vec{v})}{2}}_{\equiv \vec{v}_-}$$
che soddisfano $\lambda(\vec{v}_\pm) = \pm \vec{v}_{\pm}$. In particolare $\vec{v}_{\pm} \in V_{\pm}$ dove $V_{\pm}$ è il sottospazio in cui $\lambda$ ha valore $\pm 1$. Questi due sono sottospazi reali ma non sottospazi complessi. Infatti supponiamo che $\vec{v}, \vec{w} \in V_+$. Allora possiamo verificare che ciò è vero per una loro arbitraria combinazione lineare reale, infatti
$$\lambda(\alpha \vec{v} + \beta \vec{w}) = \alpha \lambda(\vec{v}) + \beta \lambda(\vec{w}) = \alpha \vec{v} + \beta \vec{w}$$
per $\alpha, \beta \in \R$, e quindi anche $\alpha \vec{v} + \beta \vec{w} \in V_+$. Lo stesso ragionamento vale per $V_-$. Se invece moltiplichiamo per scalari complessi, ciò non è vero: infatti se $\lambda(\vec{v})=\vec{v}$ abbiamo però $\lambda(i \vec{v}) = -i\lambda\vec{v}= -i\vec{v}$.
Perciò in particolare lo spazio vettoriale $V$ ammette una decomposizione della forma $V = V_+ \oplus V_-$ dove $V_{\pm}$ sono i due sottospazi invarianti di $\lambda$. In questo caso, tutti e tre gli spazi vettoriali vanno interpretati come spazi vettoriali reali.
Ora la biezione lineare $K: V \to V$ data da $K(\vec v) = i \vec v$ mappa palesemente i due spazi $V_{\pm}$ l’uno all’altro, ovvero $K(V_{\pm}) = V_{\mp}$, dato che $\lambda K = -K \lambda$. Poiché è biettiva, ciò implica che (come spazi vettoriali reali) $\dim{V_+} = \dim{V_-}$ e quindi $\dim{V} = 2 \dim_{V_+}$.
All’inizio dell’articolo abbiamo costruito la complessificazione canonica di uno spazio vettoriale reale. La complessificazione permette di ricostruire lo spazio vettoriale originale tramite una struttura reale canonica data $\lambda(u,v)=(u,-v)$.
Lo spazio vettoriale $V_{+}$, è anche chiamato anche forma reale e denotato $V_{\R}$. Cosa succede se applichiamo la complessificazione canonica a $V_{\R}$? Otteniamo lo spazio vettoriale $V_{\R} \oplus V_{\R}$ con struttura complessa come sopra. Identificando $J$ con la moltiplicazione per $i$, troviamo quindi che la complessificazione di $V_{\R}$ è isomorfa allo spazio vettoriale originale complesso $V$.