Supponiamo di avere uno spazio vettoriale reale $V$. È possibile vederlo anche come spazio vettoriale complesso? Chiaramente ciò non è sempre possibile: ad esempio, se $V$ ha dimensione dispari. In generale, per identificare $V$ con uno spazio vettoriale complesso abbiamo bisogno di una struttura complessa:
Definizione. Una struttura complessa $J$ su uno spazio vettoriale reale $V$ è una mappa lineare reale $J : V \to V$ tale che $J^2 = -I$.
In questo caso $I$ sarebbe l’identità su $V$. Moralmente $J$ è la moltiplicazione per $i$, di cui però appunto non possiamo parlare perché abbiamo tra le mani solo uno spazio vettoriale reale. Se $J$ esiste, allora possiamo vedere $V$ come spazio vettoriale complesso; dato un numero complesso $z = x + i y \in \C$ e un vettore $\vec v \in V$, possiamo definire il loro prodotto tramite $J$,
$$z \vec v = (x + i y) \vec v \equiv x \vec v + y J(\vec v)$$
dove essendo $x,y$ reali è ben definita la loro moltiplicazione per un elemento di $V$. Abbiamo quindi moralmente definito $J(\vec v) = i \vec v$. Chiaramente però esistono diverse scelte di $J$ e non ce n’è una canonica.
Dalla definizione di $J$ (che in pratica è una matrice), notiamo che prendendo il determinante abbiamo $(\det J)^2 = \det(-I) = (-1)^{\mathrm{dim}(V)}$. Se $V$ ha dimensione dispari, abbiamo quindi $(\det J)^2=-1$. Ma ciò è impossibile perché $J$ è per definizione una matrice reale e quindi $\det J$ è un numero reale, il cui quadrato non può essere negativo. Al contrario, se $V$ ha dimensione pari, diciamo $2n$, allora chiamando una base qualsiasi $(\vec{e}_1, \vec{e}_2, \ldots, \vec{e}_n, \vec{f}_1, \vec{f}_2, \ldots, \vec{f}_n)$ possiamo definire una struttura complessa $J$ ponendo
$$J \vec{e}_i = \vec{f}_i, \qquad \mathrm{e} \qquad J \vec{f}_i = -\vec{e}_i$$
Moralmente “$\vec{f}_i = i \vec{e}_i$”. Con questa scelta di base $J$ è data dalla matrice
$$J = \begin{pmatrix} 0 & I \\ -I & 0 \end{pmatrix} $$
Chiaramente questa non è l’unica scelta di base possibile: è comune anche ordinare gli elementi di base come $(\vec{e}_1, \vec{f}_1, \vec{e}_2, \vec{f}_2, \ldots, \vec{e}_n, \vec{f}_n)$ oppure in altri infiniti modi.
Se $A: V \to V$ è una mappa lineare reale, non è detto che sia una mappa vettoriale complessa; perché lo sia deve essere lineare rispetto ai numeri complessi, ovvero deve soddisfare moralmente “$A(z \vec{v}) = z A(\vec{v})$” per $z \in \C$. Chiaramente a livello formale la moltiplicazione per $z \in \C$ è definita tramite $J$, ovvero utilizzando l’equazione precedente e la linearità reale di $A$ troviamo che $A$ deve soddisfare
$$A( x \vec{v} + y J(\vec{v})) = x A \vec{v} + y A J \vec{v} = x A \vec{v} + y JA \vec{v}$$
dove l’ultima riga è moralmente “$z A \vec v$”. Abbiamo perciò la seguente proposizione:
Proposizione. Una mappa lineare reale $A$ è una mappa lineare complessa se e solo se commuta con la struttura complessa $J$, ovvero $AJ = JA$.
Alla stessa maniera non tutti i sottospazi vettoriali reali di $V$ sono anche sottospazi vettoriali complessi. Ciò perché moralmente non è detto che siano invarianti rispetto alla moltiplicazione per scalari complessi, ovvero non è detto che siano invarianti rispetto a $J$.
Proposizione. Un sottospazio vettoriale reale è un sottospazio vettoriale complesso se e solo se è lasciato invariante dalla struttura complessa $J$.
Dato uno spazio vettoriale reale $V$ è sempre possibile definire uno spazio vettoriale complesso, che altro non è se non la complessificazione di $V$ come lo spazio vettoriale reale $V \oplus V$ con la struttura complessa canonica (cioè definita senza riferimento ad una base) data da
$$J(u,v) = (-v,u)$$
In questo caso l’interpretazione è semplicemente che $(u,v)$ corrisponde a $u+iv$ e quindi moltiplicando per $i$ (cioè applicando $J$) ottendiamo $i(u+iv) = -v + i u$, cioè $(-v,u)$.