Interi algebrici, numeri algebrici, numeri irrazionali e trascendentali

I numeri reali si dividono in due classi: i numeri algebrici e i numeri trascendentali. In generale la definizione vale anche per i numeri complessi. Ovvero:

Definizione. Un numero complesso si dice algebrico se è la radice di un polinomio a coefficienti interi.

Al contrario un numero complesso si dice trascendentale se non è algebrico. Chiaramente tutti i numeri razionali sono algebrici, dato che $p/q$ è una radice del polinomio $qx-p$. Ma anche alcuni numeri irrazionali sono algebrici: ad esempio $\sqrt{2}$ è algebrico, in quanto radice di $x^2-2$. Alla stessa maniera qualsiasi radice $k$-esima di un numero razionale è algebrico. Al contrario, ma è abbastanza difficile dimostrarlo, sia $\pi$ che $e$ sono trascendentali.

In realtà la maggior parte dei numeri reali è trascendentale. Infatti abbiamo il risultato seguente:

Proposizione. La cardinalità dei numeri algebrici è numerabile.

Dimostrazione. La dimostrazione è abbastanza semplice. Scrivendo un polinomio generico con $p(x)=\sum_{k=0}^n a_k x^k$ con $a_k \in \Z$, consideriamo l’insieme $F(N)$ dato da tutti i polinomi con $N= n + \sum_{k=0}^n \abs{a_k}$. Per le ipotesi date, $N$ è un numero naturale. Ora l’insieme $F(N)$ ha cardinalità finita, cioè esistono un numero finito di polinomi con $N$ fissato. Chiamiamo $R(N)$ l’insieme di tutte le radici dei polinomi in $F(N)$. Poiché un polinomio di ordine $n$ ha al più $n$ radici, allora $R(N)$ ha cardinalità finita; inoltre chiaramente non è vuoto. Poiché ogni polinomio appartiene ad un qualche $F(N)$, ogni numero algebrico appartiene ad un qualche $R(N)$ per un qualche $N$. Per costruzione, ogni numero in $R(N)$ è algebrico. Perciò ne concludiamo che l’insieme dei numeri algebrici è dato dall’unione di tutti gli $R(N)$ per ogni $N \in \N$. Ma questa è un’unione numerabile di insiemi finiti, e quindi è numerabile. $\square$

Ciò vuol dire che i numeri algebrici reali hanno misura nulla tra i numeri reali. Formano un insieme intermedio tra i numeri razionali $\Q$ e i numeri reali $\R$.

Esiste un’altra nozione più restrittiva, che è quella di intero algebrico, che è simile alla definizione precedente:

Definizione. Un numero complesso è un intero algebrico se è la radice di un polinomio monico a coefficienti interi.

Un polinomio di grado $n$ è monico se il coefficiente di $x^n$ è uno. Quindi chiaramente ogni intero algebrico è anche un numero algebrico, ma non viceversa. Perciò gli interi algebrici sono anch’essi numerabili. Ad esempio gli interi sono interi algebrici, così come le radici $n$-esime di un intero. Ma al contrario in genere i razionali non sono interi algebrici:

Proposizione. Un numero razionale è un intero algebrico se e solo se è intero.

Dimostrazione. Supponiamo che $x=p/q \in \Q$ (ridotto ai minimi termini) sia la radice di un polinomio monico a coefficienti interi $p(x)=\sum_{k=0}^n a_k x^k$. In generale, sappiamo che le radici razionali di un polinomio intero sono fortemente ristrette: ovvero $p$ deve dividere $a_0$ e $q$ deve dividere $a_n$. Ma poiché $a_n=1$ per ipotesi, allora $q=1$ e quindi $x \in \Z$. $\square$

Una proprietà interessante dei numeri algebrici e anche degli interi algebrici è che formano un anello, ovvero la somma e la moltiplicazione di numeri algebrici è un numero algebrico e lo stesso vale per gli interi algebrici. I numeri algebrici tuttavia sono anche chiusi rispetto all’inversione:

Proposizione. I numeri algebrici formano un campo, ovvero la somma, il prodotto e l’inverso di un numero algebrico è un numero algebrico.

Proposizione. Gli interi algebrici formano un anello, ovvero la somma e il prodotto di un numero algebrico è un numero algebrico.

La dimostrazione fa uso del risultante di due polinomi, e ne trovate uno schizzo qui.