La legge semicircolare di Wigner è uno strano risultato che emerge dalla teoria delle matrici casuali. In particolare gli autovalori di una matrice simmetrica o hermitiana casuale molto grande hanno una distribuzione semicircolare:
Istogramma degli autovalori di una matrice simmetrica $1000 \times 1000$ i cui elementi sono estratti da una distribuzione normale con media $0$ e varianza $1$, presa da qui.
In maniera più formale, consideriamo una matrice $N \times N$ reale e simmetrica $X_N$ i cui elementi sono estratti casualmente con i seguenti requisiti:
- Tutti gli elementi indipendenti della matrice sono estratti in maniera indipendente;
- Gli elementi diagonali sono identicamente distribuiti, e gli elementi non-diagonali sono anch’essi identicamente distribuiti;
- Entrambe le distribuzioni hanno momento secondo finito (il momento secondo di $Y$ è $\expval{Y^2}$).
Allora nel limite $N \to \infty$ gli autovalori della matrice casuale $\frac{1}{\sqrt{N}} X_N$ hanno densità di probabilità $f(x) = \frac{2}{\pi R^2} \sqrt{R^2-x^2}$ per $\abs{x} \leq R$ e $0$ altrimenti. Il raggio $R$ della distribuzione è $R=2\sqrt{\expval{Y^2}}$ dove $Y$ è la distribuzione degli elementi diagonali. Questo risultato è noto come distribuzione semicircolare di Wigner e ha un sorprendente numero di applicazioni, dalla fisica nucleare ai buchi neri.
Il risultato è sorprendente per una serie di motivi. In particolare è del tutto universale, nel senso che non abbiamo nessuna ipotesi sulle due distribuzioni da cui estraiamo gli elementi della matrice (quella diagonale e quella non-diagonale), tranne che abbiano momento secondo finito. È inoltre parecchio sorprendente che il raggio del semicerchio dipenda solo dalla distribuzione degli elementi diagonali e non sia influenzato dagli elementi non-diagonali.