Abbiamo visto nell’articolo precedente che lo spazio degli stati di un sistema quantistico è uno spazio di Hilbert proiettivo $\mathcal{P}$. Tuttavia gli spazi proiettivi non sono spazi vettoriali, per cui è molto più semplice lavorare con lo spazio di Hilbert $\mathcal{H}$ e quindi vogliamo trovare un modo per lavorare con $\mathcal{H}$ invece che con $\mathcal{P}$.
In genere una simmetria quantistica è una trasformazione biettiva $T: \mathcal{P} \to \mathcal{P}$ dello spazio degli stati che lasci invariate le probabilità. In particolare se $\gamma: \mathcal{H} \to \mathcal{P}$ è la proiezione $\psi \to [\psi]$ di un vettore $\psi$ sulla sua classe di equivalenza $[\psi]$, abbiamo che la probabilità è definita su $\mathcal{P}$ come:
$$P([\psi], [\phi]) = \frac{\abs{\braket{\psi}{\phi}}^2}{\braket{\psi}{\psi}\braket{\phi}{\phi}}$$
dove $\psi$ e $\phi$ sono tali che $\gamma(\psi) = [\psi]$ e $\gamma(\phi) = [\phi]$. Abbiamo già visto nell’articolo precedente che $P$ è ben definita (indipendente da quale rappresentante scegliamo per la classe di equivalenza).
Definizione. Una simmetria quantistica è una trasformazione biettiva $T: \mathcal{P} \to \mathcal{P}$ dello spazio degli stati che lascia invariante le probabilità, cioè che soddisfa:
$$P(T[\psi], T[\phi]) = P([\psi], [\phi])$$
In realtà basterebbe richiedere la suriettività, perché una trasformazione che preserva le probabilità è automaticamente iniettiva:
Proposizione. Se $T: \mathcal{P} \to \mathcal{P}$ preserva le probabilità, allora è iniettiva.
Dimostrazione. Supponiamo che $T[\phi] = T[\psi]$. Ponendo $[\Psi]=T[\psi]=T[\phi]$, senza perdita di generalità possiamo scegliere i rappresentanti $\phi, \psi, \Psi$ normalizzati ad $1$. Poiché $T$ è una simmetria, abbiamo $P([\Psi], [\Psi]) = P([\psi], [\phi])$ per cui abbiamo $\abs{\braket{\psi}{\phi}}=1$. Segue che $\braket{\psi}{\phi} = e^{i\theta}$ per qualche $\theta$ e quindi $\braket{e^{i\theta}\psi}{\phi} = 1$. Ma se $\braket{u}{v}=1$ per due vettori normalizzati, allora i due sono uguali, poiché:
$$\braket{u-v}{u-v} = \braket{u}{u}-\braket{u}{v}-\braket{v}{u}+\braket{v}{v}=0$$
dato che tutti e quattro i termini sono uguali a $1$. Segue che i due rappresentanti sono proporzionali, $\phi = e^{i\theta}\psi$, e quindi rappresentano la stessa classe $[\phi] = [\psi]$. $\square$
Abbiamo visto che le simmetrie quantistiche sono per definizione trasformazioni dello spazio proiettivo. Noi però vorremmo tanto lavorare con $\mathcal{H}$ piuttosto che con $\mathcal{P}$. Per cui la domanda sorge spontanea: se $T$ è una simmetria di $\mathcal{P}$, qual è la corrispondente operazione su $\mathcal{H}$? La risposta è fornita dal teorema di Wigner.
Data una trasformazione biettiva $S: \mathcal{H}\to \mathcal{H}$ possiamo definire una corrispondente trasformazione $\hat \gamma(S):\mathcal{P}\to \mathcal{P}$ secondo la legge:
$$\hat \gamma(S)([\phi]) = \gamma(S(\phi))$$
dove $\psi$ è un rappresentante della classe $[\psi]$, cioè $\gamma(\psi) = [\psi]$. Pertanto $\hat \gamma$ è un’omomorfismo tra il gruppo delle funzioni biettive su $\mathcal{H}$ e il gruppo delle simmetrie quantistiche. Possiamo quindi enunciare il teorema:
Teorema. (Wigner) Per ogni simmetria quantistica $T:\mathcal{P}\to \mathcal{P}$, ovvero una trasformazione biettiva che lasci invariate le probabilità, esiste un’operatore unitario o antiunitario $U:\mathcal{H}\to \mathcal{H}$ tale che $\hat\gamma(U)=T$, ovvero $T[\psi] = [U\psi]$ per ogni $\psi$.
In particolare:
- Un operatore unitario $U$ è $\mathbb{C}$-lineare e soddisfa: $\braket{Uf}{Ug} = \braket{f}{g}$.
- Un operatore antiunitario $V$ è $\mathbb{R}$-lineare e soddisfa: $\braket{Vf}{Vg} = \braket{f}{g}^*$ e $V(i f) = -i V(f)$.
Tutti gli operatori antiunitari possono essere scritti come il prodotto di un’operatore unitario con l’operatore “complesso coniugato”. Per questo basta studiare il gruppo $U(\mathcal{H})$ degli operatori unitari su $\mathcal{H}$. Il corrispondente gruppo delle simmetrie quantistiche è $U(\mathcal{P}) \equiv \hat\gamma(U(\mathcal{H}))$.
La dimostrazione del teorema è elementare ma complessa, per cui la lasciamo al prossimo articolo. Nei successivi generalizzeremo la discussione alle rappresentazioni di gruppi.