Un reticolo di Bravais $\Lambda$ è un insieme di punti in $\R^n$ dato da tutte le combinazioni lineari intere di una base di $\R^n$, ovvero
$$\Lambda = \left\{ \sum_{i} n_i \vec{a}_i \ , \,\,\, n_i \in \Z \right\}$$
dove i vettori $\{\vec{a}_i\}$ formano una base di $\R^n$. Il reticolo reciproco è definito come il reticolo $\Lambda^*$ tale che il prodotto interno di vettori in $\Lambda$ e $\Lambda^*$ sia sempre intero. In maniera più semplice è definito come il reticolo
$$\Lambda^* = \left\{ \sum_{i} n_i \vec{b}_i \ , \,\,\, n_i \in \Z \right\}$$
dove i vettori $\{\vec{b}_i\}$ sono un’altra base di $\R^n$, duale a quella originale, ovvero
$$\vec{a}_i\cdot\vec{b}_j = \delta_{ij}$$
Spesso è utile scegliere una diversa normalizzazione per quest’ultima condizione. Ad esempio, possiamo inserire $2\pi$ o altro come preferiamo: ciò cambia solo la normalizzazione della base duale.
Il volume $\abs{\Lambda}$ del reticolo è definito come il volume in $\R^n$ della cella unitaria. Il covolume $\abs{\Lambda^*}$ è il volume della cella unitaria del reticolo reciproco. In particolare, con la nostra definizione, $\abs{\Lambda}\abs{\Lambda^*}=1$.
Ad esempio, se i vettori di base che definiscono $\Lambda$ sono ortonormali, allora possiamo semplicemente scegliere gli stessi vettori (a meno di una normalizzazione). Ad esempio i vettori $\vec{a}_1 = a \hat{x}$, $\vec{a}_2 = a \hat{y}$ definiscono il reticolo quadrato bidimensionale con passo $a$; in questo caso il reticolo reciproco $\Lambda^*$ ha vettori base $\vec{b}_1 = \frac{1}{a} \hat{x}$ e $\vec{b}_2 = \frac{1}{a} \hat{y}$.
Un altro esempio è dato dal sistema cubico, che definisce alcuni reticoli trovati in natura. Il reticolo cubico a corpo centrato è un reticolo con base $\vec{a}_1 = \frac{a}{2} (-\hat{x}+\hat{y}+\hat{z})$, $\vec{a}_2 = \frac{a}{2} (\hat{x}-\hat{y}+\hat{z})$ e $\vec{a}_1 = \frac{a}{2} (\hat{x}+\hat{y}-\hat{z})$. Il suo reticolo reciproco è il reticolo cubico a facce centrate, con vettori base duali $\vec{b}_1 = \frac{1}{a} (\hat{y}+\hat{z})$, $\vec{b}_2 = \frac{1}{a} (\hat{x}+\hat{z})$ e $\vec{b}_1 = \frac{1}{a} (\hat{x}+\hat{y})$.
Ora consideriamo la trasformata di Fourier in $\R^n$. Data una funzione $f: \R^n \to \R$ la sua trasformata di Fourier è la funzione $\hat{f}: \R^n \to \R$ definita dall’integrale
$$\hat{f}(\vec{k}) = \int_{\R^n} f(\vec{x}) e^{2\pi i\, \vec{x} \cdot \vec{k}} d^n \vec{x}$$
dove $\vec{x}, \vec{k} \in \R^n$.
Ora supponiamo che $f$ sia periodica con periodicità $\Lambda$. Ciò vuol dire che $f(\vec x + \vec r) = f(\vec x)$ per ogni $\vec r \in \Lambda$. Allora possiamo spezzare l’integrazione su tutto $\R^n$ in due parti. Prima effettuiamo una somma su tutti i punti del reticolo, e poi integriamo sulla cella unitaria che chiamiamo $\Gamma$. In altre parole decomponiamo $\vec{x} = \vec{r} + \vec{y}$ dove $\vec{r} \in \Lambda$ e $\vec{y} \in \Gamma$, cosicché
$$\hat{f}(\vec{k}) = \int_{\R^n} f(\vec{x}) e^{2\pi i\, \vec{x} \cdot \vec{k}} d^n \vec{x} = \sum_{\vec r \in \Lambda} \int_{\Gamma} f(\vec{r}+\vec{y}) e^{2\pi i\, (\vec{r}+\vec{y}) \cdot \vec{k}} d^n \vec{y}=\\
=\sum_{\vec r \in \Lambda} e^{2\pi i\, \vec{r}\cdot \vec{k}} \int_{\Gamma} f(\vec{y}) e^{2\pi i\, \vec{y} \cdot \vec{k}} d^n \vec{y}$$
dove per la periodicità abbiamo appunto usato il fatto che $f(\vec{r}+\vec{y}) = f(\vec{y})$. Perciò abbiamo un fattore davanti alla trasformata di Fourier. Riconosciamo bene che altro non è se non una funzione $\delta$: ovvero è uguale a zero, tranne nel caso in cui $\vec{r} \cdot \vec{k}$ è un intero. In tal caso allora tutti i termini sono identicamente uguali ad $1$ e quindi vale infinito. Ma questa è esattamente la condizione che definisce il reticolo reciproco $\Lambda^*$! Perciò abbiamo la conclusione che se $f$ è periodica con periodo $\Lambda$ allora $\hat{f}$ sarà non nulla solamente su $\Lambda^*$.
In particolare, abbiamo più precisamente:
$$\sum_{\vec r \in \Lambda} e^{2\pi i\, \vec{r}\cdot \vec{k}} = (2\pi)^n \abs{\Lambda^*} \sum_{\vec q \in \Lambda^*} \delta(\vec{q}-\vec{k})$$
Questa non è altro che la formula di sommazione di Poisson su reticoli arbitrari. Da dove viene il fattore di normalizzazione? La risposta è meno banale di quanto sembri. Nella formula di Poisson standard (per il reticolo ipercubico) abbiamo il fattore di $(2\pi)^n$ che non è banale da derivare. Supposto questo supponiamo che $\Lambda$ sia ottenuto dal reticolo ipercubico riscalando i vettori di base di un fattore $a_i$ diverso per ogni vettore di base indicizzato da $i$ (ovvero moltiplicandoli per $a_i$). Supponiamo di considerare il membro sinistro dell’equazione su $\Lambda$; spostando i fattori di $a_i$ nei vettori reciproci $\vec{k}$ possiamo quindi applicare la formula di Poisson per il reticolo ipercubico al vettore con componenti $a_i k_i$, ottenendo delle funzioni $\delta$ sul reticolo ipercubico; per riportare la somma al reticolo duale dobbiamo rimuovere la riscalatura, e sappiamo che $\delta(\lambda x) = \frac{1}{\abs{\lambda}} \delta(x)$, perciò otteniamo un fattore aggiuntivo di $1/(a_1 \cdots a_n) = 1/\abs{\Lambda}=\abs{\Lambda^*}$
Invertendo la trasformata di Fourier e applicando la formula sopra, otteniamo che
$$f(\vec{x}) = \frac{1}{(2\pi)^n} \int_{\R^n} \hat{f}(\vec{k}) e^{-2\pi i\, \vec{x} \cdot \vec{k}} d^n \vec{x} = \abs{\Lambda^*} \sum_{\vec q \in \Lambda^*} e^{-2\pi i\vec{q} \cdot \vec{x}} \hat{f}_\Gamma(\vec{q}) $$
dove con $\hat{f}_\Gamma$ abbiamo indicato la trasformata di Fourier calcolata solo nella cella unitaria $\Gamma$. In altre parole, una funzione con periodicità $\Lambda$ può essere espressa come combinazione lineare di onde piane con impulso nel reticolo reciproco $\Lambda^*$.
Infine deriviamo anche una versione più generale della formula di sommazione di Poisson. Consideriamo una funzione generica $f: \R^n \to \R$ (con le giuste condizioni di esistenza ecc per la trasformata di Fourier) ma non imponiamo nessun requisito di periodicità. Allora possiamo costruire la funzione
$$g(\vec{x}) = \sum_{\vec{r} \in\Lambda} f(\vec{x}+\vec{r})$$
che è periodica con periodo $\Lambda$. Possiamo perciò applicare l’ultimo teorema, che ci dice
$$g(\vec{x}) = \abs{\Lambda^*} \sum_{\vec q \in \Lambda^*} e^{-2\pi i\vec{q} \cdot \vec{x}} \hat{g}_\Gamma(\vec{q})$$
Abbiamo inoltre
\begin{align}
\hat{g}_\Gamma(\vec{q}) &= \int_{\Gamma} g(\vec{y}) e^{2\pi i\, \vec{y} \cdot \vec{q}} d^n \vec{y} = \sum_{\vec{r} \in \Lambda} \int_{\Gamma} f(\vec{r}+\vec{y}) e^{2\pi i\, \vec{y} \cdot \vec{q}} d^n \vec{y} = \\
&=\sum_{\vec{r} \in \Lambda} \int_{\Gamma} f(\vec{r}+\vec{y}) e^{2\pi i\,(\vec{r}+ \vec{y}) \cdot \vec{q}} d^n \vec{y}=\int_{\R^n} f(\vec{x}) e^{2\pi i\,\vec{x} \cdot \vec{q}} d^n \vec{x} = \hat{f}(\vec{q})
\end{align}
dove abbiamo prima utilizzato il fatto che $e^{2\pi i \vec{q} \cdot \vec{r}}=1$ poiché $\vec{r} \in \Lambda$ e $\vec{q} \in \Lambda^*$, e poi sostituito $\vec{x}=\vec{r}+\vec{y}$. Perciò sostituendo l’espressione per $g$ otteniamo in via definitiva la formula di Poisson per una funzione qualsiasi:
$$\sum_{\vec{r} \in\Lambda} f(\vec{x}+\vec{r}) = \abs{\Lambda^*} \sum_{\vec q \in \Lambda^*} e^{-2\pi i\vec{q} \cdot \vec{x}} \hat{f}(\vec{q})$$